Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\left| 2x-4 \

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\left| 2x-4 \right|$ trên khoảng $\Large \left( -\infty ;+\infty  \right)$ , ở đó $\Large C,{C}'$ là các hằng số tùy ý?

• A.

  $\Large F(x)=\left| {{x}^{2}}-4x \right|+C$

• B.

  $\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x+2C\,khi x\ge 2 \\  & -{{x}^{2}}+4x+2C-8\,khi x<2 \\ \end{align} \right.$

• C.

  $\Large F(x)=\left| {{x}^{2}}-4x+C \right|$

• D.

  $\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x+C,khi,x\ge 2 \\  & -{{x}^{2}}+4x+{C}',khi x<2 \\ \end{align} \right.$

Ta có $\Large f(x)=\left| 2x-4 \right|=\left\{ \begin{align}  & 2x-4,khi x\ge 2 \\  & -2x+4,khi x<2 \\ \end{align} \right.$

Xét hàm số $\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x+C,khi x\ge 2 \\  & -{{x}^{2}}+4x+{C}',khi x<2 \\ \end{align} \right.$

Với $\Large x>2$, ta có $\Large {F}'(x)=2x-4=f(x)$

Với $\Large x<2$, ta có $\Large {F}'(x)=-2x+4=f(x)$

Xét tại $\Large x=2$, ta có $\Large f(2)=0$

$\Large \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{F(x)-F(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-4x+C-(C-4)}{x-2}\\\Large =\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x-2)=0$

$\Large \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{F(x)-F(2)}{x-2}\\\Large =\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-{{x}^{2}}+4x+{C}'-(C-4)}{x-2}$

Do $\Large \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x-2)=0$ nên điều kiện cần để $\Large {F}'(2)=f(2)=0$ là $\Large \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-{{x}^{2}}+4x+{C}'-C+4)=0$ $\Large \Leftrightarrow {C}'-C+8=0\Leftrightarrow {C}'=C-8$

Ngược lại, với $\Large {C}'=C-8$ ta có $\Large \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{F(x)-F(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-{{x}^{2}}+4x-4}{x-2}=0$

Vậy nếu chọn hằng số là $\Large 2C$ thì $\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x+2C,\,khi x\ge 2 \\  & -{{x}^{2}}+4x+2C-8, \, khi x<2 \\ \end{align} \right.$ là nguyên hàm của $\Large f(x)=\left| 2x-4 \right|$ trên $\Large \left( -\infty ,+\infty  \right)$ 

Chọn đáp án B