Cho biết hàm số $\Large \Large \Large f(x)$ liên tục và có đạo hàm trê

Cho biết hàm số $\Large \Large \Large f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên [0;3] và có $\Large \Large \Large f(3)=4$; thỏa mãn điều kiện $\Large {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}=8{{x}^{2}}-20-4f(x)$. Tính $\Large \Large \Large f(6)$.

• A.

  $\Large f(6)=8$

• B.

  $\Large f(6)=36$

• C.

  $\Large f(6)=31$

• D.

  $\Large f(6)=41$

Lấy tích phân 2 vế của giả thiết , cận từ 0 đến 3 ta được 

$\Large \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{3}{(8{{x}^{2}}-20-4f(x))dx}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{3}{(8{{x}^{2}}-20)dx-4\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx=\left( \frac{8{{x}^{3}}}{3}-20x \right)\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.}$ $\Large -4.I$ với $\Large I=\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx=12-4.I}$ (*)

Đối với $\Large I=\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}$, đặt $\Large \left\{ \begin{align}  & u=f(x) \\  & dv=dx \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du={f}'(x)dx \\  & v=x \\ \end{align} \right.$

Suy ra $\Large I=xf(x)\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large -\int\limits_{0}^{3}{x.{f}'(x)dx}$ $\Large =3f(3)-\int\limits_{0}^{3}{x{f}'(x)dx=12-\int\limits_{0}^{3}{x{f}'(x)dx}}$

Thay vào (*) ta được

$\Large \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx=-36+4\int\limits_{0}^{3}{x{f}'(x)dx}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx-4\int\limits_{0}^{3}{x{f}'(x)dx+36=0}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x))}^{2}}dx-4\int\limits_{0}^{3}{x{f}'(x)dx+\int\limits_{0}^{3}{4{{x}^{2}}dx=0}}}$

$\Large \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{({f}'(x)-2x)}^{2}}dx=0\Leftrightarrow {f}'(x)-2x=0\\\Large \Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Leftrightarrow f(x)={{x}^{2}}+C}$

Mà $\Large f(3)=4\Rightarrow 4=9+C\Leftrightarrow C=-5\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}-5\Rightarrow f(6)=31$

Chọn đáp án C