Biết rằng với mỗi số thực $\Large x$ thì phương trình $\Large {{t}^{3}

Biết rằng với mỗi số thực $\Large x$ thì phương trình $\Large {{t}^{3}}+tx-27=0$ có nghiệm dương duy nhất $\Large t=t(x)$ với $\Large t(x)$ là hàm liên tục trên $\Large \left[ 0;+\infty  \right]$. Giá trị của $\Large I=\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t(x) \right]}^{2}}dx}$ là.

• A.

  26

• B.

  48

• C.

  81

• D.

  94

Với $\Large \forall x\in \left[ 0;+\infty  \right)$ ta có $\Large t(x)>0$ thỏa mãn $\Large {{\left[ t\left( x \right) \right]}^{3}}+t(x).x-27=0$ (1)

Suy ra $\Large \left\{ \begin{align}  & {{\left[ t\left( 0 \right) \right]}^{3}}-27=0 \\  & {{\left[ t\left( 26 \right) \right]}^{3}}+26.t(26)-27=0 \\ \end{align} \right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t(0)=3 \\  & t(26)=1 \\ \end{align} \right.$

Mặt khác ta có $\Large (1)\Leftrightarrow x=\dfrac{27}{t(x)}-{{\left[ t(x) \right]}^{2}}$ (2)

Do $\Large t=t(x)$ liên tục trên $\Large \left[ 0;+\infty  \right)$ nên với $\Large {{x}_{0}}>0$ ta có $\Large \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,t=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,t(x)=t({{x}_{0}})={{t}_{0}}>0$

Xét $\Large \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t(x)-t({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\\\Large =\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t(x)-t({{x}_{0}})}{\left[ \dfrac{27}{t(x)}-{{\left[ t(x) \right]}^{2}} \right]-\left[ \dfrac{27}{t({{x}_{0}})}-{{\left[ t({{x}_{0}}) \right]}^{2}} \right]}$ $\Large =\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t-{{t}_{0}}}{\left[ \dfrac{27}{t}-{{t}^{2}} \right]-\left[ \dfrac{27}{{{t}_{0}}}-t_{0}^{2} \right]}\\\Large =\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t-{{t}_{0}}}{27\left( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{{{t}_{0}}} \right)-({{t}^{2}}-t_{0}^{2})}$ $\Large =\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\dfrac{-27}{t.{{t}_{0}}}-(t+{{t}_{0}})}\\\Large =-\dfrac{1}{\dfrac{27}{t_{0}^{2}}+2{{t}_{0}}}=-\dfrac{t_{0}^{2}}{2t_{0}^{3}+27}$ (hữu hạn)

Suy ra $\Large t=t(x)$ có đạo hàm trên $\Large \left( 0;+\infty  \right)$

Ta lại có $\Large \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t(x)-t(0)}{x-0}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{t-3}{\dfrac{27}{t}-{{t}^{2}}}=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(t-3)t}{27-{{t}^{3}}}\\\Large =\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-t}{{{t}^{2}}+3t+9}=-\dfrac{1}{9}$

Suy ra $\Large t=t(x)$ có đạo hàm phải tại 0

Tóm lại $\Large t=t(x)$ có đạo hàm trên $\Large \left[ 0;+\infty  \right)$ là $\Large {t}'(x)$ 

Đạo hàm hai vế của (2) ta được:

$\Large 1=-\dfrac{27.{t}'(x)}{{{\left[ t(x) \right]}^{2}}}-2t(x).{t}'(x)\Leftrightarrow {{\left[ t(x) \right]}^{2}}=-27{t}'(x)-2{{\left[ t(x) \right]}^{3}}{t}'(x)$

Do đó $\Large I=\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t(x) \right]}^{2}}dx=-27\int\limits_{0}^{26}{{t}'(x)dx-2\int\limits_{0}^{26}{{{\left[ t(x) \right]}^{3}}{t}'(x)dx}}}$ $\Large =-27.t(x)\left| \begin{align}  & 26 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large -\dfrac{1}{2}{{\left[ t(x) \right]}^{4}}\left| \begin{align}  & 26 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large = -27\left[ t(26)-t(0) \right]-\dfrac{1}{2}\left\{ {{\left[ t(26) \right]}^{4}}-{{\left[ t(0) \right]}^{4}} \right\}=94$

Chọn đáp án D