Hai con lắc lò xo đặt đồng trục trên mặt phẳng ngang không ma sát như

Hai con lắc lò xo đặt đồng trục trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Mỗi lò xo có một đầu cố định và đầu còn lại gắn với vật nặng khối lượng m. Ban đầu, hai vật nặng ở các vị trí cân bằng $\Large O_1, O_2$ cách nhau 10 cm. Độ cứng các lò xo lần lượt là k1 = 100 N/m và k2 = 400 N/m. Kích thích cho hai vật dao động điều hòa bằng cách: vật thứ nhất bị đẩy về bên trái còn vật thứ hai bị đẩy về bên phải rồi đồng thời buông nhẹ. Biết động năng cực đại của hai vật bằng nhau và bằng 0,125 J. Kể từ lúc thả các vật, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị là 

• A. 6,25 cm
• B. 5,62 cm
• C. 7,50 cm
• D. 2,50 cm

Phương pháp: 
Tần số góc của con lắc: $\Large \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
Cơ năng của con lắc: $\Large W=W_{dmax}=W_{tmax}=\dfrac{1}{2}kA^{2}$
Khoảng cách giữa hai vật: $\Large l=O_1O_2+(x_2-x_1)$ 

Cách giải: 
Tần số góc của hai con lắc là: 
$\Large \left\{\begin{align}&\omega_1=\sqrt{\dfrac{k_1}{m}}\\&\omega_2=\sqrt{\dfrac{k_2}{m}}\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \dfrac{\omega_2}{\omega_1}=\sqrt{\dfrac{k_2}{k_1}}=\sqrt{\dfrac{400}{100}}=2\Rightarrow \omega_2=2\omega_1=2\omega$
Cơ năng của hai con lắc là: 
$\Large \left\{\begin{align}&W_1=\dfrac{1}{2}k_2A_1^{2}\Rightarrow 0,125=\dfrac{1}{2}.100.A_1^{2}\Rightarrow A_1=0,05(m)=5(cm)\\&W_2=\dfrac{1}{2}k_2A_2^{2}\Rightarrow 0,125=\dfrac{1}{2}.400.A_2^{2}\Rightarrow A_2=0,025(m)=2,5(cm)\\\end{align}\right.$
Tại thời điểm ban đầu, con lắc thứ nhất ở biên âm, con lắc thứ 2 ở biên dương 
$\Large \rightarrow$ Hai con lắc dao động ngược pha. 
Gọi phương trình dao động của hai con lắc là: 
$\Large \left\{\begin{align}&x_1=5\cos(\omega t+\pi)\\&x_2=2,5\cos(2\pi t)\\\end{align}\right.$
Khoảng cách giữa hai vật trong quá trình dao động là: 

$\Large l=O_1O_2+(x_2-x_1)=10+2,5\cos(2\omega t)-5\cos(\omega t+\pi)$

$\Large \Rightarrow l=10+2,5(2\cos^{2}\omega t-1)+5\cos(\omega t)$

$\Large \Rightarrow l=5\cos^{2}\omega t+5\cos \omega t+7,5$
Đặt  $\Large x=\cos\omega t\Rightarrow f(x)=5x^{2}+5x+7,5$
Xét $\Large f'(x)=10x+5=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow f_{(x)min}=l_{min}=6,25(cm)$
Chọn A.