Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $\Large y=\left|\dfrac{x^{2}+m x+m}{x+1}\right|$ trên [1;2] bằng 2. Số phần tử của tập S

• A.

  A. 3

• B.

  B. 1

• C.

  C. 4

• D.

  D. 2

Xét $\Large y=\dfrac{x^{2}+m x+m}{x+1}$. Ta có: $\Large f^{\prime}(x)=\dfrac{x^{2}+2 x}{(x+1)^{2}}, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \notin[1 ; 2] \\ x=-2 \notin[1 ; 2] \end{array}\right.$

Mà $\Large f(1)=\dfrac{2 m+1}{2}, f(2)=\dfrac{3 m+4}{3} \Rightarrow \max _{x \in[1,2]} y=\left\{\left|\dfrac{2 m+1}{2}\right| ;\left|\dfrac{3 m+4}{3}\right|\right\}$

Trường hợp 1: $\Large \max _{x \in[1, 2]} y=\left|\dfrac{2 m+1}{2}\right|=2\Rightarrow\left[\begin{array}{l} m=\dfrac{3}{2} \\ m=-\dfrac{5}{2} \end{array}\right.$

Với $\Large m=\dfrac{3}{2} \Rightarrow\left|\dfrac{3 m+4}{3}\right|=\dfrac{17}{6}>2$ (loại)

Với $\Large m=-\dfrac{5}{2} \Rightarrow\left|\dfrac{3 m+4}{3}\right|=\dfrac{7}{6}<2$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $\Large \max _{x \in[1,2]} y=\left|\dfrac{3 m+4}{3}\right|=2 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} 3 m+4=6 \\ 3 m+4=-6 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=\dfrac{2}{3} \\ m=-\dfrac{10}{3} \end{array}\right.$

Với $\Large m=\dfrac{2}{3} \Rightarrow\left|\dfrac{2 m+1}{2}\right|=\dfrac{7}{6}<2$ (thỏa mãn)

Với $\Large m=-\dfrac{10}{3} \Rightarrow\left|\dfrac{2 m+1}{2}\right|=\dfrac{17}{6}>2$ (loại)

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn.