Xét các số thực không âm $x\,$ và $y$ thỏa mãn $2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge

Xét các số thực không âm $x\,$ và $y$ thỏa mãn $2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge 3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y$ bằng:
 

• A. A. $\frac{33}{4}$
• B. B. $\frac{65}{8}$
• C. C. $\frac{49}{8}$
• D. D. $\frac{57}{8}$

Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số với giả thiết ràng buộc bởi một đẳng thức hay bất đẳng thức liên quan tới mũ hay logarit.
Hướng giải:
Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa các biến ta có 2 hướng như sau:
Hướng 1: Từ giả thiết của bài toán ta sử dụng biến đổi phù hợp để đưa về dạng $f\left( u \right)\ge f\left( v \right)$ sử dụng tính đơn điệu của hàm $f\left( x \right)$ để đưa ra mối liên hệ giữa các biến.
Hướng 2: Từ giả thiết ta đưa về $k.\left[ f\left( u \right)-f\left( v \right) \right]+l\left[ g\left( u \right)-g\left( v \right) \right]\ge 0$ từ đó dựa vào tính đơn điệu của hàm $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ sử dụng các đánh giá phù hợp để đưa ra mối liên hệ giữa các biến.
Bước 3. Từ mối liên hệ giữa các biến ta thay vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để đánh giá. Đến đây ta có các hướng để giải quyết bài toán như sau:
Hướng 1: Đưa về hàm 1 biến để khảo sát
Hướng 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để đánh giá
Hướng 3: Sử dụng vị trí tương đối của các đối tượng hình học cơ bản để đánh giá.
Cách 1: Biến đổi giả thiết:
$y{{.2}^{2x+2y-2}}\ge 3-2x\Leftrightarrow y{{.2}^{2y+1}}\ge \left( 3-2x \right){{2}^{3-2x}}\Leftrightarrow 2y{{.2}^{2y}}\ge \left( 3-2x \right){{.2}^{3-2x}}\left( * \right)$
Nếu $3-2x\le 0\Leftrightarrow x\le \frac{3}{2}$ khi đó do $y\ge 0$ nên $\left( * \right)$ luôn đúng.
Ta có $P\ge {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+4.\frac{3}{2}+6.0\ge \frac{33}{4}\left( 1 \right)$
Nếu $3-2x>0$ khi đó $\left( * \right)$ có dạng $f\left( 2y \right)\ge f\left( 3-2x \right)$ với $f\left( t \right)=t{{.2}^{t}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t{{.2}^{t}}$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty  \right)$. Có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}+t{{.2}^{t}}.\ln 2>0,\forall t>0$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty  \right)$. Từ đó suy ra $2y\ge 3-2x\Leftrightarrow y\ge \frac{3}{2}-x$ mà $\frac{3}{2}-x>0$ nên $P\ge {{x}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2}-x \right)}^{2}}+4x+6\left( \frac{3}{2}-x \right)$$\Rightarrow P\ge 2{{x}^{2}}-5x+\frac{45}{4}\ge 2{{\left( x-\frac{5}{4} \right)}^{2}}+\frac{65}{8}\ge \frac{65}{8}$, đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align}
  & x=\frac{5}{4} \\ 
 & y=\frac{1}{4} \\ 
\end{align} \right.$. Từ (1) và (2) chọn B.
Cách 2
Với mọi $x,y$ không âm ta có:
$2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge 3\Leftrightarrow x+y{{.4}^{x+y-\frac{3}{2}}}\ge \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow \left( x+y-\frac{3}{2} \right)+y\left( {{4}^{x+y-\frac{3}{2}}}-1 \right)\ge 0\left( 1 \right)$
Nếu $x+y-\frac{3}{2}<0$ thì $\left( x+y-\frac{3}{2} \right)+\left( {{4}^{x+y-\frac{3}{2}}}-1 \right)<0+y\left( {{4}^{0}}-1 \right)=0$ (vô lí)
Nếu $x+y-\frac{3}{2}\ge 0$ thì $\left( x+y-\frac{3}{2} \right)+y\left( {{4}^{x+y-\frac{3}{2}}}-1 \right)\ge 0+y\left( {{4}^{0}}-1 \right)=0$ (luôn đúng)
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x+y-\frac{3}{2}\ge 0\Leftrightarrow x+y\ge \frac{3}{2}$
Ta có: $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}-13$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được $P\ge \frac{1}{2}{{\left( x+y+5 \right)}^{2}}-13\ge \frac{1}{2}{{\left( \frac{3}{2}+5 \right)}^{2}}-13=\frac{65}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align}
  & x+y=\frac{3}{2} \\ 
 & x+3=y+2 \\ 
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
  & x=\frac{5}{4} \\ 
 & y=\frac{1}{4} \\ 
\end{align} \right.$. Vậy $\min P=\frac{65}{8}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
  & x=\frac{5}{4} \\ 
 & y=\frac{1}{4} \\ 
\end{align} \right.$