Xét các số thực không âm <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-1"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-2">x</span><span class="MJXp-mspace" id="MJXp-Span-3" style="width: 0.167em; height: 0em;"></span></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">x\,</script> và <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"><span class="MJXp-math" id="MJXp-Span-4"><span class="MJXp-mi MJXp-italic" id="MJXp-Span-5">y</span></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">y</script> thỏa mãn $2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge

Xét các số thực không âm xy thỏa mãn $2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge

4.3/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 18 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Câu hỏi:

Xét các số thực không âm xy thỏa mãn 2x+y.4x+y13. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2+4x+6y bằng:
 

Đáp án án đúng là: B

Lời giải chi tiết:

Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số với giả thiết ràng buộc bởi một đẳng thức hay bất đẳng thức liên quan tới mũ hay logarit.
Hướng giải:
Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa các biến ta có 2 hướng như sau:
Hướng 1: Từ giả thiết của bài toán ta sử dụng biến đổi phù hợp để đưa về dạng f(u)f(v) sử dụng tính đơn điệu của hàm f(x) để đưa ra mối liên hệ giữa các biến.
Hướng 2: Từ giả thiết ta đưa về k.[f(u)f(v)]+l[g(u)g(v)]0 từ đó dựa vào tính đơn điệu của hàm f(x), g(x) sử dụng các đánh giá phù hợp để đưa ra mối liên hệ giữa các biến.
Bước 3. Từ mối liên hệ giữa các biến ta thay vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để đánh giá. Đến đây ta có các hướng để giải quyết bài toán như sau:
Hướng 1: Đưa về hàm 1 biến để khảo sát
Hướng 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để đánh giá
Hướng 3: Sử dụng vị trí tương đối của các đối tượng hình học cơ bản để đánh giá.
Cách 1: Biến đổi giả thiết:
y.22x+2y232xy.22y+1(32x)232x2y.22y(32x).232x()
Nếu 32x0x32 khi đó do y0 nên () luôn đúng.
Ta có P(32)2+02+4.32+6.0334(1)
Nếu 32x>0 khi đó () có dạng f(2y)f(32x) với f(t)=t.2t
Xét hàm số f(t)=t.2t xác định và liên tục trên [0;+). Có f(t)=2t+t.2t.ln2>0,t>0
f(t) đồng biến trên [0;+). Từ đó suy ra 2y32xy32x32x>0 nên Px2+(32x)2+4x+6(32x)P2x25x+4542(x54)2+658658, đẳng thức xảy ra khi {x=54y=14. Từ (1) và (2) chọn B.
Cách 2
Với mọi x,y không âm ta có:
2x+y.4x+y13x+y.4x+y3232(x+y32)+y(4x+y321)0(1)
Nếu x+y32<0 thì (x+y32)+(4x+y321)<0+y(401)=0 (vô lí)
Nếu x+y320 thì (x+y32)+y(4x+y321)0+y(401)=0 (luôn đúng)
Vậy (1)x+y320x+y32
Ta có: P=x2+y2+4x+6y=(x+2)2+(y+3)213
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được P12(x+y+5)21312(32+5)213=658
Đẳng thức xảy ra khi {x+y=32x+3=y+2{x=54y=14. Vậy minP=658{x=54y=14