Đường thẳng $\large x=m$ lần lượt cắt đồ thị hàm số $\large y=\log_5x$

Đường thẳng $\large x=m$ lần lượt cắt đồ thị hàm số $\large y=\log_5x$ và đồ thị hàm số $\large y=\log_5(x+4)$ tại các điểm A, B. Biết rằng khi $\large AB=\dfrac{1}{2}$ thì $\large m=a+\sqrt{b}$ trong đó a, b là các số nguyên. Tổng $\large a+b$ bằng

• A. A. 6
• B. B. 8
• C. C. 5
• D. D. 7

Chọn A

Ta có: A là giao điểm của đường thẳng $\large x=m$ và đồ thị hàm số $\large y=\log_5x$

Suy ra điểm A có tọa độ $\large A(m; \log_5m)$ với  $\large m>0$

Ta có: B là giao điểm của đường thẳng $\large x=m$ và đồ thị hàm số $\large y=\log_5(x+4)$

Suy ra điểm B có tọa độ $\large B(m; \log_5(m+4))$

Khi đó: $\large \vec{AB}=(0; \log_5(m+4)-\log_5m)=\left(0; \log_5\left(\dfrac{m+4}{m}\right)\right); AB=\sqrt{\left[\log_5\left(\dfrac{m+4}{m}\right)\right]^2}$

Theo bài ra ta có: $\large AB=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left[\log_5\left(\dfrac{m+4}{m}\right)\right]^2=\dfrac{1}{4}$ $\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& \log_5\dfrac{m+4}{m}=\dfrac{1}{2}\\& \log_5\dfrac{m+4}{m}=-\dfrac{1}{2}\\\end{align}\right. $

$\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& m+4=m\sqrt{5}\\& \sqrt{5} (m+4)=m\\\end{align}\right.$ $\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& m=1+\sqrt{5}\\& m=-5\sqrt{5}\\\end{align}\right. $

Dựa vào đáp án ta chọn $\large m=1+\sqrt{5}$. Suy ra: $\large a=1; \,\, b=5$

Vậy $\large a+b =6$