Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thuộc $\Large \left[-10; 10\right]$

Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thuộc $\Large \left[-10; 10\right]$ để phương trình $\Large \ln (e^x+x+1)+2e^x-2e^{2x+m+1}=m-1$ có đúng 2 nghiệm phân biệt?

• A. 9.
• B. 10.
• C. 11.
• D. 12.

Hàm số $\Large h(x)=e^x+x+1$ có đạo hàm $\Large {h}'(x)=e^x+1 > 0$ với mọi $\Large x$ nên $\Large h(x)$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$. Phương trình $\Large h(x)=0$ có duy nhất một nghiệm $\Large x_0\approx -1,278$. Suy ra $\Large e^x+x+1 > 0\Leftrightarrow x > x_0$.

Phương trình đã cho tương đương

$\Large \ln (e^x+x+1)+2(e^x+x+1)=2e^{2x+m+1}+2x+m+1$ (2)

Đặt $\Large u=\ln (e^x+x+1)\Rightarrow e^x+x+1=e^u$

(2) $\Large \Leftrightarrow 2e^u+u=2e^{2x+m+1}+2x+m+1$ (3)

Hàm số $\Large f(t)=2e^t+t$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$ do đó

(3)$\Large \Leftrightarrow u=2x+m+1$ $\Large \Leftrightarrow \ln (e^x+x+1)=2x+m+1$

$\Large \Leftrightarrow m=\ln (e^x+x+1)-2x-1$.

Xét hàm số $\Large g(x)=\ln (e^x+x+1)-2x-1$;

$\Large {g}'(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x+x+1}-2=\dfrac{-e^x-2x-1}{e^x+x+1}$.

Hàm số $\Large q(x)=-e^x-2x-1$ nghịch biến trên $\Large \mathbb{R}$ và phương trình $\Large q(x)=0$ có nghiệm duy nhất $\Large x_1\approx -0,7388$,

Bảng biến thiên

Trong đó $\Large g(x_1)\approx 0,175$.

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Large m < g(x_1)$.

Mặt khác $\Large m$ nguyên thuộc $\Large [-10; 10]$ nên $\Large m \in {\rm{\{  - 10; - 9;}}..{\rm{;0\} }}$

Vậy có 11 số nguyên $\Large m$ thỏa mãn.

Chọn đáp án C