Xét các số phức thỏa mãn $\Large |z-1|=2$. Gọi $\Large M, m$ lần lượt

Xét các số phức thỏa mãn $\Large |z-1|=2$. Gọi $\Large M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=|z+2|+2|3-\overline{z}|$. Tổng $\Large M+m$ bằng

• A. $\Large 14$.
• B. $\Large 7$.
• C. $\Large \dfrac{45+3\sqrt{55}}{5}$.
• D. $\Large \dfrac{15+5\sqrt{33}}{3}$.

Đặt $\Large z=x+yi\ (x, y\in\mathbb{R})$. Ta có

$\Large |z-1|=2$ $\Large \Leftrightarrow |(x-1)+yi|=2$ $\Large \Leftrightarrow (x-1)^2+y^2=4$ $\Large \Leftrightarrow y^2=4-(x-1)^2$ (điều kiện: $\Large -1\leq x\leq 3$).

Khi đó

$\Large P=|(x+2)+yi|+2|(3-x)-yi|$

$\Large =\sqrt{(x+2)^2+y^2}+2\sqrt{(3-x)^2+y^2}$

$\Large =\sqrt{(x+2)^2+4-(x-1)^2}+2\sqrt{(3-x)^2+4-(x-1)^2}$

$\Large =\sqrt{6x+7}+2\sqrt{12-4x}=f(x)$.

Hàm số $\Large f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\Large [-1; 3]$.

Ta có

$\Large {f}'(x)=\dfrac{3}{\sqrt{6x+7}}-\dfrac{4}{\sqrt{12-4x}}$

Và $\Large {f}'(x)=0\Leftrightarrow 9(12-4x)=16(6x+7)$ $\Large \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{33}$.

Ta có $\Large f(-1)=9, f(3)=5, f\left(-\dfrac{1}{33}\right)=\dfrac{5\sqrt{33}}{3}$.

Suy ra $\Large M=\underset{[-1; 3]}{\max}f(x)=f\left(-\dfrac{1}{33}\right)=\dfrac{5\sqrt{33}}{3}$, $\Large m=\underset{[-1; 3]}{\min}f(x)=f(3)=5$.

Vậy $\Large M+m=\dfrac{15+5\sqrt{33}}{3}$.

Chọn đáp án D