Có bao nhiêu số nguyên dương $\Large m$ để bất phương trình $\Large m.

Có bao nhiêu số nguyên dương $\Large m$ để bất phương trình $\Large m.9^x-(2m+1).6^x+m.4^x\leq 0$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\in (0; 1)$?

• A. 7.
• B. 5.
• C. 6.
• D. 4.

Chọn C

$\Large m.9^x-(2m+1).6^x+m.4^x\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow m(9^x-2.6^x+4^x)\leq 6^x$ $\Large \Leftrightarrow m(3^x-2^x)^2\leq 6^x$ (1)

Khi $\Large x=0$ thì bất phương trình thỏa mãn với mọi $\Large m$.

Khi $\Large x\neq 0$ thì

(1) $\Large \Leftrightarrow m\leq \dfrac{6^x}{(3^x-2^x)^2}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^x}{\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^x-1\right]^2}=\dfrac{t}{(t-1)^2}=f(t)$, với $\Large t=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\in \left(0; \dfrac{3}{2}\right)$ khi $\Large t\in (0; 1)$.

Xét $\Large f(t)=\dfrac{t}{(t-1)^2}$ $\Large \Rightarrow {f}'(t)=\dfrac{-(t+1)}{(t-1)^3} < 0, \forall t\in \left(0; \dfrac{3}{2}\right)$.

Do đó

$\Large m.9^x-(2m+1).6^x+m.4^x\leq 0, \forall x\in (0; 1)$

$\Large \Leftrightarrow m\leq f(t), \forall t \in \left(0; \dfrac{3}{2}\right)$ $\Large \Leftrightarrow m\leq \underset{t\in\left(0; \dfrac{3}{2}\right)}{\min}f(t)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=6$.

Mà $\Large m$ nguyên dương nên $\Large m\in \begin{Bmatrix} 1; 2; 3; 4; 5; 6 \end{Bmatrix}$.