Cho tích phân $\Large I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{({{x}^{2}}+

Cho tích phân $\Large I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{({{x}^{2}}+1)\ln x+1}{x\ln x}dx=\dfrac{a{{e}^{4}}+b{{e}^{2}}}{2}+c+d\ln 2}$ . Chọn phát biểu đúng nhất 

• A.

  A. $\Large a=b=c=d$

• B.

  B. $\Large a={{b}^{2}}=\sqrt{c}=\dfrac{1}{d}$

• C.

  C. A và B đúng

• D.

  D. A và B sai

Chọn B

Ta có: 

$I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln x+1}{x\ln x}dx=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{{{x}^{2}}\ln x+1+\ln x}{x\ln x}dx}}$

$=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x\ln x} \right)dx=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x} \right)dx+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{1}{x\ln x}dx}}}$

Xét $M=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x} \right)dx=\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right| \right)\left| \begin{align}  & {{e}^{2}} \\  & e \\ \end{align} \right.=\frac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1}$

Xét $N=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{1}{x\ln x}dx}$, đặt $t=\ln x$ suy ra $dt=\frac{1}{x}dx$

Đổi cận $x=e\Rightarrow t=1$ và $x={{e}^{2}}\Rightarrow t=2$ ta được

$N=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dt}{t}=\left( \ln \left| t \right| \right)\left| \begin{align}  & 2 \\  & 1 \\ \end{align} \right.=\ln 2-\ln 1=\ln 2}$

Vậy $I=\frac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1+\ln 2$

Do đó: $a=-b=c=d=1$