Cho hàm số $\Large f(x)$ xác định trên $\Large R\backslash \left\{ k\p

Cho hàm số $\Large f(x)$ xác định trên $\Large R\backslash \left\{ k\pi ,k\in Z \right\}$ thỏa mãn $\Large {f}'(x)=\cot x,f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=2$ và $\Large f\left( -\dfrac{5\pi }{3} \right)=1$ . Giá trị của biểu thức $\Large f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)-f\left( -\dfrac{7\pi }{4} \right)$ bằng

• A.

  A. $\Large 1+\ln \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• B.

  B. $\Large 3+\ln \dfrac{1}{2}-\ln \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• C.

  C. $\Large 1-\ln \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• D.

  D. $\Large \ln \dfrac{1}{2}-\ln \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ta có $\int{{f}'(x)dx=\int{\cot xdx=\ln \left| \sin x \right|+C=f(x)}}$

Xét trên khoảng $\left( -2\pi ;-\pi  \right)$ ta có:

$f\left( -\frac{5\pi }{3} \right)=1\Leftrightarrow \ln \left| \sin \left( -\frac{5\pi }{3} \right) \right|+{{C}_{1}}=1\Rightarrow {{C}_{1}}=1-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow f(x)=\ln \left| \sin x \right|+1-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}$

$F\left( -\frac{7\pi }{4} \right)=\ln \left| \sin \left( -\frac{-7\pi }{4} \right) \right|+1-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}=\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+1-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xét trên khoảng $\left( 0;\pi  \right)$ ta có: 

$f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\Leftrightarrow \ln \left| \sin \left( \frac{\pi }{4} \right) \right|+{{C}_{2}}=2\Leftrightarrow {{C}_{2}}=2-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f(x)=\ln \left| \sin x \right|+2-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\ln \left| \sin \left( \frac{\pi }{6} \right) \right|+2-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\ln \frac{1}{2}+2-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $f\left( \frac{\pi }{6} \right)-f\left( -\frac{7\pi }{4} \right)=1+\ln \frac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn đáp án A