Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục và $\Large f(x)>0$ trên đ

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục và $\Large f(x)>0$ trên đoạn [0;2] đồng thời thỏa mãn $\Large {f}'(0)=1$ , $\Large f(0)=2$ và $\Large f(x).{f}''(x)+{{\left| \dfrac{f(x)}{x+2} \right|}^{2}}={{\left| {f}'(x) \right|}^{2}}$. Tính $\Large {{f}^{2}}(1)+{{f}^{2}}(2)$ bằng ?

• A.

  A. 20

• B.

  B. 10

• C.

  C. 15

• D.

  D. 25

Ta có: 

$f(x).{f}''(x)+{{\left[ \frac{f(x)}{x+2} \right]}^{2}}={{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{f(x).{f}''(x)-{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}}{{{\left[ f(x) \right]}^{2}}}=-\frac{1}{{{(x+2)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{{f}'(x)}{f(x)} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{(x+2)}^{2}}}$

Lấy nguyên hàm hai vế $\Rightarrow \frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x+2}+C$

Cho $x=0\Rightarrow \frac{{f}'(0)}{f(0)}=\frac{1}{2}+C\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+C\Rightarrow C=0$

Khi đó $\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x+2}\Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{f(x)}dx=\int{\frac{1}{x+2}dx\Rightarrow \ln \left| f(x) \right|=\ln \left| x+2 \right|+C}}$

Do đó $\ln \left| f(x) \right|=\ln \left| x+2 \right|\Leftrightarrow \left| f(x) \right|=\left| x+2 \right|$

Vì $f(x)>0$ trên đoạn [0;2] nên $f(x)=x+2,\forall x\in \left[ 0;2 \right]$

Ta có $f(1)=3,f(2)=4\Rightarrow {{f}^{2}}(1)+{{f}^{2}}(2)={{3}^{3}}+{{4}^{2}}=25$

Chọn đáp án D