Cho tích phân $\Large I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{({{x}^{2}}+

Cho tích phân $\Large I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{({{x}^{2}}+1)\ln x+1}{x\ln x}dx=\dfrac{a{{e}^{4}}+b{{e}^{2}}}{2}+c+d\ln 2}$ . Chọn phát biểu đúng nhất 

• A.

  $\Large a=b=c=d$

• B.

  $\Large a={{b}^{2}}=\sqrt{c}=\dfrac{1}{d}$

• C.

  A và B đúng

• D.

   A và B sai

Chọn B

Ta có: 

$\Large I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln x+1}{x\ln x}dx=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{{{x}^{2}}\ln x+1+\ln x}{x\ln x}dx}}$

$\Large =\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x\ln x} \right)dx=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)dx+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{1}{x\ln x}dx}}}$

Xét $\Large M=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)dx=\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right| \right)\left| \begin{align}  & {{e}^{2}} \\  & e \\ \end{align} \right.=\dfrac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1}$

Xét $\Large N=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{1}{x\ln x}dx}$, đặt $\Large t=\ln x$ suy ra $\Large dt=\dfrac{1}{x}dx$

Đổi cận $\Large x=e\Rightarrow t=1$ và $\Large x={{e}^{2}}\Rightarrow t=2$ ta được

$\Large N=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{dt}{t}=\left( \ln \left| t \right| \right)\left| \begin{align}  & 2 \\  & 1 \\ \end{align} \right.=\ln 2-\ln 1=\ln 2}$

Vậy $\Large I=\dfrac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1+\ln 2$

Do đó: $\Large a=-b=c=d=1$