Cho tích phân $\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}{

Cho tích phân $\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}{x}\mathrm{d}x,$ đặt $\Large t=\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

• A.

  $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^et^2\mathrm{d}t.$

• B.

  $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t\mathrm{d}t.$

• C.

  $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^et\mathrm{d}t.$

• D.

  $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t^2\mathrm{d}t.$

Chọn D

$\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}{x}\mathrm{d}x,$ đặt $\Large t=\sqrt{1+3\mathrm{ln}x} \Rightarrow t^2=1+3\mathrm{ln}x \Rightarrow 2t\mathrm{d}t=\dfrac{3\mathrm{d}x}{x} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}t\mathrm{d}t=\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$

Đổi cận:

Vậy $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t^2\mathrm{d}t.$