Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đườn

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt $\large \alpha = \widehat{CAB}$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm $\large \alpha$ sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

• A. A. $\large \alpha = 60^{\circ}$
• B. B. $\large \alpha = 45^{\circ}$
• C. C. $\large arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
• D. D. $\large \alpha = 30^{\circ}$

Chọn C

$\large AC = AB.cos \alpha = 2R.cos \alpha$ 

$\large CH = AC.sin \alpha = 2R.cos \alpha.sin \alpha$  

$\large AH = AC.cos \alpha = 2R.cos^{2} \alpha$ 

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là

$\large V = \dfrac{1}{3}AH.\pi CH^{2} = \dfrac{8}{3}R^{3}.cos^{4} \alpha.sin^{2} \alpha$ 

Đặt $\large t = cos^{2} \alpha$   (0 < t < 1)

$\large \Rightarrow V = \dfrac{8}{3}R^{3}t^{2}(1-t) = \dfrac{8}{6}R^{3}.t.t(2-2t)\leq \dfrac{8}{6}R^{3}\left (\dfrac{t+t+2-2t}{3}  \right )^{3}$ 

Vậy V lớn nhất khi $\large t = \dfrac{2}{3}$ khi $\large \alpha = arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}}$