Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằng

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt $\large \alpha$ là góc giữa AB và đáy. Tính $\large tan \alpha$ khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.

• A. A. $\large tan \alpha = \sqrt{2}$
• B. B. $\large tan \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
• C. C. $\large tan \alpha = \dfrac{1}{2}$
• D. D. $\large tan \alpha = 1$

Gọi D là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (O).

Kẻ $\large AH \perp OD, H \in OD$ 

Ta có thể tích của khối chóp OO'AB:

$\large V_{OO'AB} = \dfrac{1}{3}AH.S_{\Delta OO'B} = \dfrac{2a^{2}}{3}.AH \leq \dfrac{2a^{2}}{3}.AO = \dfrac{4a^{3}}{3}$

$\large (V_{OO'AB})_{max} \Leftrightarrow h \equiv O$. Suy ra $\large AD = 2\sqrt{2}a$ 

Suy ra: $\large tan \alpha = tan \widehat{BAD} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$