Cho $\Large F(x)=(ax^2+bx+c)e^{2x}$ là nguyên hàm của hàm số $\Large f

Cho $\Large F(x)=(ax^2+bx+c)e^{2x}$ là nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=(2020x^2+2022x-1)e^{2x}$ trên khoảng $\Large (-\infty; +\infty)$. Tính $\Large T=a-2b+4c$.

• A.

  $\Large T=1004$.

• B.

  $\Large T=1018$.

• C.

  $\Large T=1012$.

• D.

  $\Large T=-2012$.

Chọn A

Do $\Large F(x)=(ax^2+bx+c)e^{2x}$ là nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=(2020x^2+2022x-1)e^{2x}$ nên $\Large {F}'(x)=f(x)$.

Ta có $\Large {F}'(x)=(2ax+b)e^{2x}+2e^{2x}(ax^2+bx+c)=\left[2ax^2+(2a+2b)x+b+2c\right].e^{2x}$

Suy ra $\Large \left\{\begin{align} & 2a=2020\\ & 2a+2b=2022\\ & b+2c=-1\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & a=1010\\ & b=1\\ & c=-1\end{align}\right.$

Vậy $\Large T=a-2b+4c=1010-2.1+4.(-1)=1004$.