Cho hình chóp S.ABC có $\large SA = SB =SC$, góc $\large \widehat{ASB}

Cho hình chóp S.ABC có $\large SA = SB =SC$, góc $\large \widehat{ASB} = 90^\circ, \widehat{BSC} = 60^\circ,\widehat{ASC} = 120^\circ$. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)

• A. $\large 90^\circ$
• B. $\large 45^\circ$
• C. $\large 60^\circ$
• D. $\large 30^\circ$

Chọn D

Đặt độ dài $\large SA= SB =SC= a$
$\large \Delta SAB$ vuông cân tại S, $\large SA= SB =a \Rightarrow  AB= \sqrt{2}$
$\large \Delta SBC$ cân tại S có $\large \widehat{BSC} = 60^\circ \Rightarrow  \Delta SBC$ đều $\large \Rightarrow  BC= SB= SC= a$
$\large \Delta SAC$ cân tại S có $\large \widehat{ASC} = 120^\circ$. Áp dụng định lý cosin, ta có: 
$\large AC= \sqrt{SA^2+SC^2- 2SA.SC.\cos 120^\circ }= \sqrt{a^2+ a^2- 2.a.\df{-1}{2}}= a\sqrt{3}$
Xét $\large \Delta ABC$, ta thấy $\large AB^2+ BC^2= AC^2$
$\large \Rightarrow  \Delta ABC$ vuông tại B
Do đó, tâm đường trong ngoại tiếp $\large \Delta ABC$ là trung điểm của cạnh AC (ta gọi điểm đó là I)
Suy ra: $\large SI\perp ABC$
$\large \Rightarrow  BI$ là hình chiếu của SB trên (ABC)
$\large \Rightarrow  \angle{(SB, (ABC))}= \angle{(SB, IB)}= \widehat{SBI}$
Xét $\large \Delta ABC: \, BI= \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét $\large \Delta SBI$ có: $\large \cos\widehat{SBI}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}= \dfrac{\sqrt{3}{2}\Rightarrow  \widehat{SBI}= 30^\circ \Rightarrow  \angle{(SB, (ABC))}= 30^\circ$