Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và $\Large BC=a

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và $\Large BC=a

4.5/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và $\Large BC=a

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và $\Large BC=a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng

Đáp án án đúng là: B

Lời giải chi tiết:

Chọn B

Hình đáp án 1. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và $\Large BC=a

Gọi I là trung điểm của AC. Do tam giác ABC vuông cân tại B nên $\Large IA=IB=IC=\dfrac{1}{2}AC.$

Do $\Large AK\perp SC$ nên $\Large \Delta AKC$ vuông tại K, khi đó $\Large IA=IK=IC=\dfrac{1}{2}AC.$

Ta có $\Large BC\perp AB, BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH,$ mà $\Large AH\perp SB$ nên $\Large AH \perp (SBC)$

$\Large \Rightarrow AH \perp HC$ hay $\Large \Delta AHC$ vuông tại H $\Large \Rightarrow IH=IA=IC=\dfrac{1}{2}AC.$

Như vậy $\Large IA=IB=IC=IH=IK=\dfrac{1}{2}AC$ hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB có tâm I là trung điểm AC, bán kính $\Large R=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BC\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy thể tích khối cầu là $\Large V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3=\dfrac{\sqrt{2}\pi a^3}{3}.$