Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large \int\limi

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4, \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f (sinx)cosxdx=2.$ Tính tích phân $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x.$

• A.

  $\Large I=6.$

• B.

  $\Large I=4.$

• C.

  $\Large I=10.$

• D.

  $\Large I=2.$

Chọn B

Ta có: $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int\limits_1^9f\sqrt{x}\mathrm{d}\sqrt{x}=2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t.$

Mà $\Large \int\limits_1^9\dfrac{f \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4$ nên $\Large 2\int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=4 \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2$

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_1^3f(t)\mathrm{d}t=2 \Leftrightarrow \int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2.$

Ta có: $\Large \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}f sinxcosx\mathrm{d}x=\int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t.$

Mà $\Large \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}fsinxcosx\mathrm{d}x=2$ nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2.$

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\Large \int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=2 \Leftrightarrow f(x)\mathrm{d}x=2.$

Khi đó $\Large I=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_1^3f(x)\mathrm{d}x=2+2=4.$