Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình chữ nhật, $

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình chữ nhật, $\Large AB=a$, $\Large AD=a\sqrt{2}$, $\Large SA\perp (ABCD)$ và $\Large SA=a$ (tham khảo hình vẽ) . Khoảng cách từ $\Large A$ đến mặt phẳng $\Large (SBD)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

• B.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.

• C.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.

• D.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{2}}{5}$.

Gọi $\Large K$ là hình chiếu vuông góc của $\Large A$ trên $\Large BD$.

Khi đó: $\Large \left\{\begin{align} & AK\perp BD \\ & BD\perp SA \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow BD\perp (SAK)$.

mà $\Large BD\subset (SBD)$ suy ra $\Large (SBD)\perp (SAK)$.

mà $\Large (SBD)\cap (SAK)=SK$ nên kẻ $\Large AH\perp SK$ thì $\Large AH\perp (SBD)$.

Vậy $\Large d\big(A, (SBD)\big)=AH$

Xét tứ diện vuông $\Large ASBD$ suy ra $\Large \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AS^2}$=$\Large \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{5}{2a^2}$.

Suy ra $\Large AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.

Vậy $\Large d\big(A,(SBD)\big)=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.