Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $\large a$, tam

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $\large a$, tam giác $\large ABC$ đều. Hình chiếu vuông góc $\large H$ của đỉnh $\large S$ trên mặt phẳng $\large (ABCD)$ trùng với trọng tâm của tam giác $\large ABC$. Đường thẳng $\large SD$ tạo với mặt phẳng đáy góc $\large 30^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

• A.

  A. $\large\dfrac{a^{3}}{3}$

• B.

  B. $\large\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$

• C.

  C. $\large\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{9}$

• D.

  D.  $\large\dfrac{2a^{3}\sqrt{3}}{9}$

Gọi $\large O=AC\cap BD,M$ là trung điểm $\large AB$. Suy ra $\large H=BO\cap CM$.

Xác định: $\large 30^{\circ}=(SD,(ABCD))=(SD,HD)=\widehat{SDH}$

Dễ thấy $\large HD=2.BH=2\cdot \dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Chiều cao khối chóp: $\large SH=HD\cdot \tan \widehat{SDH}=\dfrac{2a}{3}$
Diện tích hình vuông: $\large S_{ABCD}=2S_{\bigtriangleup ABC}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{9}$

Đáp án C