Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large SB=a, SC=2a, \widehat{BSC}=60^

Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large SB=a, SC=2a, \widehat{BSC}=60^{\circ}$. Gọi $\large M$ là chân đường cao kể từ đỉnh $\large A$ của tam giác $\large ABC$ và AM = 2a, góc tạo bởi $\large SB$ và đáy $\large ABC$ bằng $\large 30^{\circ}$. Tính khoảng cách $\large h$ từ $\large A$ đến mặt phẳng $\large (SBC)$ 

• A.

  A. $\large h= 2a$

• B.

  B. $\large h= a$

• C.

  C. $\large h=a\sqrt{2}$

• D.

  D. $\large h=a\sqrt{3}$

Do $\large SH\perp (ABC)\Rightarrow \left ( \widehat{SB,(ABC)} \right )=\widehat{SBH}=30^{\circ}$

Khi đó $\large SH=SB\cdot \sin \widehat{SBH}=a\cdot \sin 30^{\circ}=\dfrac{a}{2}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $\large SBC$ ta có $\large BC^{2}=SB^{2}+SC^{2}-2SB.SC.\cos 60^{\circ}=5a^{2}-2a^{2}=3a^{2}$

$\large\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$

Suy ra $\large S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AM.BC=a^{2}\sqrt{3}$

Khi đó

$\large V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a}{2}\cdot a^{2}\sqrt{3}=\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

Mặt khác

$\large S_{SBC}=\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat{BSC}=\dfrac{1}{2}a\cdot 2a\cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Suy ra

$\large h=d(A,(SBC))=\dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}}=\dfrac{3\cdot \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}=a$

Đáp án B