Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}

Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}$. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng

• A.

  A. $\large a^{3}\sqrt{6}$

• B.

  B. $\large\dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{2}$

• C.

  C. $\large\dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

Gọi $\large H$ là hình chiếu của $\large A$ trên mặt phẳng $\large (SBC)\longrightarrow AH\perp (SBC)$

Ta có:

+) $\large AH\leq AS$

Dấu "=" xảy ra khi $\large AS\perp (SBC)$

+) $\large S_{\bigtriangleup SBC}=\dfrac{1}{2}SB\cdot SC\cdot\sin \widehat{BSC}\leq \dfrac{1}{2}SB\cdot SC$

Dấu "=" xảy ra khi $\large SB\perp SC$

Khi đó $\large V=\dfrac{1}{3} S_{\bigtriangleup SBC}.AH\leq \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} SB\cdot SC\right)AS=\dfrac{1}{6}SA.SB.SC$

Dấu "=" xảy ra khi $\large SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp $\large V_{max}=\dfrac{1}{6}SA.SB.SC=\dfrac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

Đáp án D