Cho hình hộp chữ nhật $\large ABCD.A'B'C'D'$ có $\large AB=x,AD=3$ góc

Cho hình hộp chữ nhật $\large ABCD.A'B'C'D'$ có $\large AB=x,AD=3$ góc giữa đường thẳng $\large A'C$ và mặt phẳng $\large (ABB'A')$ bằng $\large 30^{\circ}$.Tìm $\large x$ để khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

• A.

  A. $\large x=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

• B.

  B. $\large x=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

• C.

  C. $\large x=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

• D.

  D. $\large x=\dfrac{3\sqrt{15}}{5}$

Xác định $\large 30^{\circ}=(A^{\prime} C,\left(ABB^{\prime} A^{\prime}\right))=(A'C,A'B)=\widehat{{C A^{\prime} B}}$

Đặt $\large BB^{\prime}=h(h>0)$

Ta có:

$\large \tan \widehat{{C A^{\prime} B}}=\dfrac{B C}{A^{\prime} B} \Leftrightarrow \tan 30^{\circ}=\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}} \Leftrightarrow x^{2}+h^{2}=27$

Khi đó $\large V=S_{ABCD}.BB^{\prime}=3xh=3x\sqrt{27-x^{2}}\leq 3\left(\dfrac{x^{2}+27-x^{2}}{2}\right)=\dfrac{81}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\large\Leftrightarrow x^{2}=27-x^{2}\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

Đáp án B