Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large AB=a, BC=a\sqrt{3}, \widehat{A

Cho hình chóp $\large S.ABC$ có $\large AB=a, BC=a\sqrt{3}, \widehat{ABC}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $\large S$ lên mặt phẳng $\large (ABC)$ trùng với chân đường cao từ $\large A$ của tam giác $\large ABC$. Góc giữa đường thẳng $\large SA$ và mặt phẳng đáy là $\large 45^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

• C.

  C. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

• D.

  D. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Xác định: $\large 45^{\circ}=\widehat{(SA,(ABC))}=\widehat{(SA,HA)}=\widehat{SAH}$.

Ta có $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{3a^{2}}{4}=\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Chiều cao khối chóp: $\large SH=AH.\tan \widehat{SAH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup ABC}.SH=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

 Đáp án C