Cho hàm số $\large y=f(x)$ liên tục trên $\large \mathbb{R}\backslash

Cho hàm số $\large y=f(x)$ liên tục trên $\large \mathbb{R}\backslash \left\{-1; 0\right\}$ thỏa mãn điều kiện $\large f(1)=-2\ln 2$ và $\large x.(x+1).f'(x)+f(x)=x^2+x$. Biết $\large f(2)=a+b.\ln 3, (a, b\in \mathbb{Q})$. Giá trị $\large 2(a^2+b^2)$ là: 

• A. A. $\large \dfrac{27}{4}$
• B. B. $\large 9$
• C. C. $\large \dfrac{3}{4}$
• D. D. $\large \dfrac{9}{2}$

Chọn B

Chia cả hai vế của biểu thức: $\large x(x+1_.f'(x)+f(x)=x^2+x$ cho $\large (x+1)^2$ ta có: 

$\large \dfrac{x}{x+1}.f'(x)+\dfrac{1}{(x+1)^2}.f(x)=\dfrac{x}{x+1}\Leftrightarrow \left[\dfrac{x}{x+1}.f(x) \right ]'=\dfrac{x}{x+1}$

Vậy $\large \dfrac{x}{x+1}.f(x)=\int\left[\dfrac{x}{x+1}.f(x) \right ]'dx=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1} \right )dx=x-\ln |x+1|+C$ 

Do $\large f(x)=-2\ln 2$ nên ta có: $\large \dfrac{1}{2}.f(1)=1-\ln 2+C\Leftrightarrow -\ln 2=1-\ln 2+C\Leftrightarrow C=-1$

Khi đó: $\large f(x)=\dfrac{x+1}{x}.(x-\ln |x+1|-1)$

Vậy: $\large f(2)=\dfrac{3}{2}.(2-\ln 3-1)=\dfrac{3}{2}.(1-\ln 3)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}.\ln 3\Rightarrow a=\dfrac{3}{2},\,\, b=-\dfrac{3}{2}$

Suy ra: $\large 2(a^2+b^2)=2\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2\right]=9$