Cho hàm số $\Large y=f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\Lar

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ thỏa mãn $\Large \big({f}'(x)\big)^2=f(x).e^x, \forall x \in \mathbb{R}$ và $\Large f(0)=2.$ Khi đó $\Large f(2)$ thuộc khoảng nào sau đây?

• A. (12; 13).
• B. (9; 10).
• C. (11; 12).
• D. (13; 14).

Chọn B

Vì hàm số $\Large y=f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ đồng thời $\Large f(0)=2$ nên $\Large {f}'(x) \geq 0$ và $\Large f(x) > 0$ với mọi $\Large x \in [0; +\infty).$

Từ giả thiết $\Large \big({f}'(x)\big)^2=f(x).e^x, \forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $\Large {f}'(x)=\sqrt{f(x)}.e^{\frac{x}{2}}, \forall x \in [0; +\infty).$

Do đó, $\Large \dfrac{{f}'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}, \forall x \in [0; +\infty).$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $\Large \sqrt{f(x)}=e^{\frac{x}{2}}+C, \forall x \in [0; +\infty)$ với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với $\Large f(0)=2,$ ta được $\Large C=\sqrt{2}-1.$

Từ đó, tính được $\Large f(2)=(e+\sqrt{2}-1)^2 \approx 9,81.$