Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large R$ thỏa mã

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large R$ thỏa mãn $\Large {f}'(x)-xf(x)=0,f(x)>0,\forall x\in R$ và $\Large f(0)=1$. Giá trị của $\Large f(1)$ bằng

• A.

  A. $\Large \dfrac{1}{\sqrt{e}}$

• B.

  B. $\Large \dfrac{1}{e}$

• C.

  C. $\Large \sqrt{e}$

• D.

  D. $\Large e$

Từ giả thuyết ta có $\Large \dfrac{{f}'(x)}{f(x)}=x\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'(x)}{f(x)}dx=\int{xdx\Rightarrow \ln \left[ f(x) \right]=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+C}}$ ( do $\Large f(x)>0,\forall x\in R$ )

Do đó $\Large \ln \left[ f(0) \right]=\dfrac{1}{2}{{.0}^{2}}+C\Rightarrow C=0\Rightarrow \ln f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\Rightarrow f(x)={{e}^{\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}}}\Rightarrow f(1)=\sqrt{e}$

Chọn đáp án C