Cho hàm số $\Large y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị $\Large (C)$. Gọi $

Cho hàm số $\Large y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị $\Large (C)$. Gọi $\Large M(x_0; y_0)$ (với $\Large x_0 > 1$) là điểm thuộc $\Large (C)$, biết tiếp tuyến của $\Large (C)$ tại $\Large M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $\Large A$ và $\Large B$ sao cho $\Large S_{\Delta OHB}=8S_{\Delta OIA}$ (trong đó $\Large O$ là gốc tọa độ, $\Large I$ là giao điểm hai tiệm cận). Tính $\Large S=x_0-4y_0$.

• A.

  $\Large S=\dfrac{13}{4}$.

• B.

  $\Large S=\dfrac{7}{4}$.

• C.

  $\Large S=-2$.

• D.

  $\Large S=2$.

Chọn C

Ta có $\Large y=\dfrac{2x-1}{2x-2}=1+\dfrac{1}{2x-2}$ 

TCĐ: $\Large x=1 (d_1)$, TCN: $\Large y=1 (d_2)$. Điểm $\Large I(1; 1)$.

Ta có $\Large y'=\dfrac{-1}{2(x-1)^2}$

Giả sử $\Large M\left(x_0; 1+\dfrac{1}{2x-2}\right)\in (C)$

Phương trình tiếp tuyến tại $\Large M$ là $\Large \Delta: y=\dfrac{-1}{2(x_0-1)^2}(x-x_0)+1+\dfrac{1}{2x_0-2}$

$\Large A=\Delta \cap d_1$ $\Large \Rightarrow A\left(1; \dfrac{x_0}{x_0-1}\right)$, $\Large B=\Delta \cap d_2$ $\Large \Rightarrow B(2x_0-1; 1)$, $\Large \overrightarrow{IB}=(2x_0-2; 0)$; $\Large \overrightarrow{IA}=\left(0; \dfrac{1}{x_0-1}\right)$.

Ta có $\Large S_{\Delta OIB}=8S_{\Delta OIA}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.IB=8.\dfrac{1}{2}.1.IA$ $\Large \Leftrightarrow IB=8IA$

$\Large \Leftrightarrow |2x_0-2|=8.\left|\dfrac{1}{x_0-1}\right|$ $\Large \Leftrightarrow (x_0-1)^2=4$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x_0=3 (TM) \\ & x_0=-1 (L) \end{align}\right.$

$\Large \Rightarrow y_0=\dfrac{5}{4}$ $\Large \Rightarrow S=x_0-4y_0=3-4.\dfrac{5}{4}=-2$.