Cho hàm số $\large f(x) = x^{2} - 2m. \left | x - m + 5 \right | + m^{

Cho hàm số $\large f(x) = x^{2} - 2m. \left | x - m + 5 \right | + m^{3} - m^{2} + 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\large m$ thuộc đoạn [-20; 20] để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?

• A.

  23

• B.

  40

• C.

  20

• D.

  41

Ta có: $\large f(x) = x^{2} - 2m. \left | x - m + 5 \right | + m^{3} - m^{2} + 1$
$\large \Rightarrow f(x)= \left\{\begin{matrix} x^{2} - 2m. (x - m + 5) + m^{3} - m^{2} + 1 (x \geq m - 5) \\ x^{2} + 2m. (x - m + 5) + m^{3} - m^{2} + 1 (x < m - 5) \end{matrix}\right.$
$\large \Rightarrow f'(x) = \left\{\begin{matrix} 2x - 2m (x \geq m - 5) \\ 2x + 2m (x < m - 5) \end{matrix}\right.$
$\large \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = m \\ \left\{\begin{align}& x = -m \\ & x < m -5 \end{align}\right. \end{matrix}\right.$
Hàm số có một điểm cực trị $\large\Leftrightarrow f'(x) = 0$ có đúng một nghiệm 
$\large\Leftrightarrow - m > m - 5 \Leftarrow m \leq \dfrac {5}{2}$.

Mặt khác: $\Large m\in [-20;20]; m\in \mathbb{Z}$

Vây có  2- (-20)  + 1 = 23 số