Xét các số thực $\large a, b, c$ với $\large a > 1$ thỏa mãn phương tr

Xét các số thực $\large a, b, c$ với $\large a > 1$ thỏa mãn phương trình $\large \log_{a}^{2}x - 2b \log _{a} \sqrt {x} + c = 0$ có hai nghiệm thực $\large x_{1}; x_{2}$ đều lớn hơn 1 và  $\large x_{1} . x_{2} \leq a$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\large S = \dfrac {b(c + 1)}{c}$

• A.

  $\large 6 \sqrt {2}$

• B.

  4

• C.

  5

• D.

  $\large 2 \sqrt {2}$

Điều kiện $\large x > 0$
Phương trình $\large \log_{a}^{2}x - 2b \log _{a} \sqrt {x} + c = 0 \Leftrightarrow  \log_{a}^{2}x - b \log_{a} x + c = 0$
Đặt $\large t = \log_{a} x$, vì $\large a > 1, x > 1 \Rightarrow t > 0$
Ta được phương trình $\large t^{2} - bt + c = 0 (1)$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực  $\large x_{1}; x_{2}$ đều lớn hơn 1 thì (1) phải có 2 nghiệm dương $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2} - 4c \geq 0 \\ b > 0 \\ c > 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 < c \leq \dfrac {b^{2}}{4} \\ b > 0 \end{matrix}\right.$
Mặt khác $\large x_{1} . x_{2} \leq a \Rightarrow log_{a} (x_{1} . x_{2}) \leq 1  \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} \leq 1  \Leftrightarrow b \leq 1  \Leftrightarrow 0 < b \leq 1$
$\large S = \dfrac {b(c + 1)}{c} = b + \dfrac {b}{c} \geq  b + \dfrac {4}{b}$
Xét hàm $\large f(b) = b + \dfrac {4}{b}$, với $\large b \in (0;1]$
$\large f'(b) = 1 - \dfrac {4}{b^{2}} = \dfrac {b^{2} - 4}{b^{2}} < 0$ với mọi $\large b \in (0;1]$, suy ra hàm số f(b) nghịch biến trên nửa khoảng (0;1] $\large \Leftrightarrow f(b) \geq f(1) = 5$
$\large \Leftrightarrow$ min $\large S$ = min $\large f(b) = 5$ khi $\large \left\{\begin{matrix} b = 1 \\c = \dfrac {1}{4} \end{matrix}\right.$