Cho hàm số $\large y = f(x)$ liên tục trên khoảng $\large (0;+ \infty)

Cho hàm số $\large y = f(x)$ liên tục trên khoảng $\large (0;+ \infty)$, thỏa mãn $\large f(1) = e$ và $\large x^{3} f'(x) = e^{x} (x - 2)$ với mọi $\large x \in (0;+ \infty)$. Tính $\large I = \int\limits_{1}^{ln 3} x^{2}f(x)\mathrm{d}x$

• A.

  $\large I = 3 - e$

• B.

  $\large I = 2 - e$

• C.

  $\large I = 2 + e$

• D.

  $\large I = 3 + e$

Ta có: $\large x^{3} f'(x) = e^{x} (x - 2) \Leftrightarrow f'(x) = \dfrac {xe^{e} - 2e^{x}}{x^{3}} = \left(\dfrac {e^{x}}{x^{2}}\right)^{'} \Rightarrow f(x) = \dfrac {e^{x}}{x^{2}} + C$
$\large f(1) = e \Rightarrow f(1) = \dfrac {e}{1} + C =e\Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \dfrac {e^{x}}{x^{2}}$
$\large \Rightarrow I = \int\limits_{1}^{ln 3} x^{2}f(x)\mathrm{d}x = \int\limits_{1}^{ln 3} x^{2} \dfrac {e^{x}}{x^{2}} \mathrm{d}x = \int\limits_{1}^{ln 3} e^{x} \mathrm{d}x = e^{x} |^{ln3}_{1} = 3 - e$