Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {f}''(x).{{f}^{2}}(x)+2{{\le

Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {f}''(x).{{f}^{2}}(x)+2{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}.f(x)=2x-3,\forall x\in R,f(0)={f}'(0)=1$ . Tính giá trị $\Large P={{f}^{3}}(2)$

• A.

  A. $\Large -\dfrac{11}{3}$

• B.

  B. $\Large -6$

• C.

  C. $\Large -3$

• D.

  D. $\Large -\dfrac{23}{3}$

Ta có $\Large {f}''(x).{{f}^{2}}(x)+2{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}.f(x)=2x-3,\forall x\in R\Leftrightarrow {{\left| {f}'(x).{{f}^{2}}(x) \right|}^{\prime }}=2x-3$ (1) 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có 

(1) $\Large \Rightarrow \int{{{\left| {f}'(x).{{f}^{2}}(x) \right|}^{\prime }}dx=\int{(2x-3)dx\Leftrightarrow {f}'(x).{{f}^{2}}(x)={{x}^{2}}-3x+C}}$

Với $\Large x=0$ $\Large \Rightarrow {f}'(0).{{f}^{2}}(0)=C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow {f}'(x).{{f}^{2}}(x)={{x}^{2}}-3x+1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: 

$\Large {f}'(x).{{f}^{2}}(x)={{x}^{2}}-3x+1\Rightarrow \int{{f}'(x).{{f}^{2}}(x)dx=\int{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)dx}}$

$\Large \Rightarrow \dfrac{1}{3}{{f}^{3}}(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+C$

Với $\Large x=0$ $\Large \Rightarrow \dfrac{1}{3}{{f}^{3}}(0)=C\Rightarrow C=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{f}^{3}}(x)={{x}^{3}}-\dfrac{9}{2}{{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow {{f}^{3}}(2)=-3$

Chọn đáp án C