Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\Large f(1)=0,\int\limits_{0}^{1}{{{\left| {f}'(x) \right|}^{2}}dx=7}$ và $\Large \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x.\cos xf(\sin x)dx=\dfrac{1}{3}}$ . Tính tích phân $\Large \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng

• A.

  A. $\Large \dfrac{7}{5}$

• B.

  B. $\Large 4$

• C.

  C. $\Large \dfrac{7}{4}$

• D.

  D. $\Large 1$

Xét tích phân ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x.\cos xf(\sin x)dx}$

Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx$

Ta có: $x=0\Rightarrow t=0;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$

Ta có: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f(x)dx=\frac{1}{3}}}$ (tính chất không phụ thuộc vào biến số )
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d(x)dx=\frac{1}{3}{{x}^{3}}f(x)\left| \begin{align}  & 1 \\  & 0 \\ \end{align} \right.}$ $-\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{f}'(x)dx=\frac{1}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{f}'(x)dx=-1}}$ 

Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left| {f}'(x)+7{{x}^{3}} \right|}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left| {f}'(x) \right|}^{2}}dx+14\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{f}'(x)dx+49\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{6}}dx=7-14+7=0}}}}$

Do đó: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left| {f}'(x)+7{{x}^{3}} \right|}^{2}}dx=0\Rightarrow {f}'(x)+7{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=-7{{x}^{3}}\Rightarrow f(x)=-\frac{7}{4}{{x}^{4}}+C}$

Theo giả thiết $f(1)=0\Rightarrow C=\frac{7}{4}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( -\frac{7}{4}{{x}^{4}}+\frac{7}{4} \right)dx=\frac{7}{5}}}$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx=\frac{7}{5}}$

Chọn đáp án A