Cho hàm số $\Large y=f(x)$ dương và liên tục trên [1;3] thỏa mãn $\Lar

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ dương và liên tục trên [1;3] thỏa mãn $\Large \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=2,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\dfrac{1}{3}$ và biểu thức $\Large S=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx.\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{1}{f(x)}dx}}$ đạt giá trị lớn nhất . Khi đó tích phân $\Large \int\limits_{0}^{8}{\dfrac{f\left( \sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{x+1}}dx}$ bằng

• A.

  A. $\Large \dfrac{7}{3}$

• B.

  B. $\Large \dfrac{7}{6}$

• C.

  C. $\Large \dfrac{14}{3}$

• D.

  D. $\Large \dfrac{7}{12}$

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow dt=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}dx\Rightarrow 2dt=\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx$

Với $x=0\Rightarrow t=1$ và $x=8\Leftarrow t=3$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{8}{\frac{f\left( \sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{x+1}}dx=2\int\limits_{1}^{3}{f(t)dt}}$

Ta có: $\frac{1}{3}\le f(x)\le 2,\forall x\in \left[ 1;3 \right]\to \frac{\left( f(x)-\frac{1}{3} \right)(f(x)-2)}{f(x)}\le 0,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$

Khi đó: $\int\limits_{1}^{3}{\frac{\left( f(x)-\frac{1}{3} \right)(f(x)-2)}{f(x)}}dx\le 0\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{\left( f(x)+\frac{2}{3}.\frac{1}{f(x)}-\frac{7}{3} \right)dx\le 0}$

$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx+\frac{2}{3}.\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx-\frac{14}{3}\le 0}}$

$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}\le 7-\frac{3}{2}.\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}}$ (1)

Nhân cả 2 vế của (1) cho $\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}$ ta được $\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}.\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx\le 7\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx-\frac{3}{2}.{{\left( \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx} \right)}^{2}}=-\frac{3}{2}{{\left( \frac{7}{3}-\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx} \right)}^{2}}+\frac{49}{6}}}}$

Như vậy $\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx.\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{49}{6}$ khi $\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx=\frac{7}{3}}$
Vậy $I=2.\frac{7}{3}=\frac{14}{3}$

Chọn đáp án C