Cho hàm số $\Large f\left ( x \right )$ có đạo hàm liên tục trên $\Lar

Cho hàm số $\Large f\left ( x \right )$ có đạo hàm liên tục trên $\Large R$ . Biết $\Large f\left ( 1 \right )=1$ và $\Large \int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}\sin x.\cos x.f\left ( \sin x \right)dx=1$ .

Khi đó $\Large  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^2x.\cos nx.f'\left ( \sin x \right)dx$ bằng

• A.

  A.1.

• B.

  B.-3.

• C.

  C.2.

• D.

  D.-1.

Chọn D

Đặt t $\Large = \sin x\Rightarrow dt = \cos x.dx$.

Khi đó $\Large 1 = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin x.\cos x.f\left ( \sin x \right )dx$

$\Large =\int_{0}^{1}t.f\left ( t \right ).dt$.

 $\Large \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \sin ^{2}x .\cos x.f{}'\left ( \sin x \right )dx$ 

$\Large = \int_{0}^{1}t^{2}.f{}'\left ( t \right )dt$

$\Large = \left ( t^{2}.f(t) \right )|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}2t.f(t)dt$

$\Large = f(1) - 2$

$\Large = -1$