Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_a\dfrac{c}{b}-2\mathrm{log}_b\dfrac{c}{b}-3.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $\Large P=\mathrm{log}_ab-\mathrm{log}_bc.$ Giá trị của biểu thức $\Large S=3m-M$ bằng

• A. -16.
• B. 4.
• C. -6.
• D. 6.

Chọn C

Biến đổi đẳng thức đề bài ta được

$\Large \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_a\dfrac{c}{b}-2\mathrm{log}_b\dfrac{c}{b}-3 \Leftrightarrow \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_ac-\mathrm{log}_ab-2\mathrm{log}_bc-1$

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_ab.\mathrm{log}_bc-\mathrm{log}_ab-2\mathrm{log}_bc-1$

Đặt $\Large u=\mathrm{log}_ab; v=\mathrm{log}_bc$ ta có phương trình

$\Large u^2+v^2=uv-u-2v-1$

$\Large \Leftrightarrow u^2-2uv+v^2+u^2+2u+1+v^2+4v+4=3$

$\Large \Leftrightarrow (u-v)^2+(u+1)^2+(v+2)^2=3 \ (*)$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\Large x^2+y^2 \geq \dfrac{1}{2}(x-y)^2$ dấu bằng xảy ra khi $\Large x=-y,$ áp dụng bất đẳng thức này ta có

$\Large (u+1)^2+(v+2)^2 \geq \dfrac{1}{2}(u+1-v-2)^2 \Leftrightarrow (u+1)^2+(v+2)^2 \geq \dfrac{1}{2}(u-v-1)^2 \ (**)$

Từ (*) và (**) ta có $\Large 3-(u-v)^2 \geq \dfrac{1}{2}(u-v-1)^2$ hay

$\Large 3-P^2 \geq \dfrac{1}{2}(P-1)^2 \Leftrightarrow 3P^2-2P-5 \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq P \leq \dfrac{5}{3}$

Vậy $\Large m=-1, M=\dfrac{5}{3}$ suy ra $\Large S=m-3M=-6.$