PP giải hệ phương trình dạn cơ bản

$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=2(1) \\ {{x}^{3}}+2(y-x)=1(2) \end{array} \right. $

Thế $ 2={{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} $ vào phương trình (2) ta được:

$ \begin{array}{l} {{x}^{3}}+\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)(y-x)=1 \\ \Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow {{y}^{3}}=1\Leftrightarrow y=1 \end{array} $

Thay $ y=1 $ vào phương trình (1) ta được: $ {{x}^{2}}+x=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{array} \right. $

Vì $ x > 0 $ nên $ x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} $

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};1 \right) $

Ta có: $ 2{{x}_{o}}+{{y}_{o}}=2.\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)+1=\sqrt{5} $

Điều kiện: $ x\ne y $ .

Khi đó từ hệ phương trình đã cho suy ra

$ \left\{ \begin{array}{l} 4x+4y=-3x+3y \\ 20x+4y=y-x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x+y=0 \\ 21x+3y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 7x+y=0 $

Vì $ x\ne y $ nên hệ phương trình có nghiệm $ \left\{ \begin{array}{l} x\in {{\mathbb{R}}^{*}} \\ y=-7x \end{array} \right.. $

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (x+1)(y-2)=xy-4 \\ (x-3)(y+3)=xy-10 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy-2x+y-2=xy-4 \\ xy+3x-3y-9=xy-10 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-y=2 \\ 3x-3y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x-3y=6 \\ 3x-3y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{3} \\ y=\dfrac{8}{3} \end{array} \right. \end{array} $

$ \Rightarrow $ Hệ có nghiệm duy nhất $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{8}{3} \right) $ .

Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=\dfrac{7}{3}+\dfrac{8}{3}=5 $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} x+2y=1(1) \\ {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-xy=1(2) \end{array} \right. $

Từ (1) suy ra $ x=1-2y $

Thế $ x=1-2y $ vào (2) ta được:

$ \begin{array}{l} {{(1-2y)}^{2}}+2{{y}^{2}}-(1-2y)y=1\Leftrightarrow 8{{y}^{2}}-5y=0 \\ \Leftrightarrow y\left( 8y-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=0 \\ y=\dfrac{5}{8} \end{array} \right. \end{array} $

Với $ y=0\Rightarrow x=1 $

Với $ y=\dfrac{5}{8}\Rightarrow x=1-2.\dfrac{5}{8}=-\dfrac{1}{4} $

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (1;0),\left( -\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{8} \right) \right\} $

$ \left\{ \begin{array}{l} x-3y=1(1) \\ 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+x-2y=31(2) \end{array} \right. $

Từ (1) suy ra $ x=1+3y $

Thế $ x=1+3y $ vào (2) ta được:

$ \begin{array}{l} 2{{(1+3y)}^{2}}+{{y}^{2}}-(1+3y)y+1+3y-2y=31 \\ \Leftrightarrow 4{{y}^{2}}+3y-7=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=1 \\ y=-\dfrac{7}{4} \end{array} \right. \end{array} $

Với $ y=1\Rightarrow x=4 $

Với $ y=-\dfrac{7}{4}\Rightarrow x=-\dfrac{17}{4} $

Vì $ x < 0 $ nện hệ có nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( -\dfrac{17}{4};-\dfrac{7}{4} \right) $

Ta có: $ {{x}_{o}}-2{{y}_{o}}=-\dfrac{17}{4}-2.\left( -\dfrac{7}{4} \right)=-\dfrac{3}{4} $

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1(1) \\ 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+x-2y=11(2) \end{array} \right. $

Từ (1) suy ra $ y=1-2x $

Thế $ y=1-2x $ vào (2) ta được:

$ \begin{array}{l} 4{{x}^{2}}+{{(1-2x)}^{2}}-3x(1-2x)+x-2(1-2x)=11 \\ \Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-x-6=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{6}{7} \end{array} \right. \end{array} $

Với $ x=1\Rightarrow y=1-2=-1 $

Với $ x=-\dfrac{6}{7}\Rightarrow y=\dfrac{19}{7} $

Vì $ x < 0 $ nên hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( -\dfrac{6}{7};\dfrac{19}{7} \right) $

Ta có: $ {{y}_{o}}-{{x}_{o}}=\dfrac{19}{7}-\left( -\dfrac{6}{7} \right)=\dfrac{25}{7} $

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x-2y|=|2x-1| \\ 3x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x-2y=2x-1 \\ x-2y=-2x+1 \end{array} \right. \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ 3x-2y=1 \end{array} \right. \\ 3x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=1 \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{15}{7} \\ y=-\dfrac{4}{7} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{13}{3} \\ y=6 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} $

Vì $ x > 0;y > 0 $ nên hệ có 1 nghiệm thỏa mãn là: $ (x;y)=\left( \dfrac{13}{3};6 \right) $

$ \left\{ \begin{array}{l} 6{{x}^{2}}-3xy+x=1-y(1) \\ 6x+{{y}^{2}}=1(2) \end{array} \right. $

$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-3xy+x=1-y\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x+3x-1-3xy+y=0 \\ \Leftrightarrow 2x(3x-1)+(3x-1)-y(3x-1)=0 \\ \Leftrightarrow (3x-1)(2x+1-y)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-1=0 \\ 2x-y+1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3} \\ y=2x+1 \end{array} \right. \end{array} $

Với $ x=\dfrac{1}{3} $ thay vào (2) ta được: $ 6.\dfrac{1}{3}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}=-1 $

$ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.

Với $ y=2x+1 $ thay vào (2) ta được: $ 6x+{{(2x+1)}^{2}}=1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+10x=0\Leftrightarrow 2x(2x+5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array} \right. $

$ x=0\Rightarrow y=1;x=-\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=-4 $

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (0 ;1),\left( -\dfrac{5}{2};-4 \right) \right\}. $

$ \left\{ \begin{array}{l} x-y=3(1) \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=29(2) \end{array} \right. $

Từ (1) suy ra $ y=x-3 $ .

Thế $ y=x-3 $ vào (2) ta được: $ {{x}^{2}}+{{(x-3)}^{2}}=29\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=5 \\ x=-2 \end{array} \right. $

Với $ x=5\Rightarrow y=2 $ (thỏa mãn $ x > y $ )

Với $ x=-2\Rightarrow y=-5 $ (thỏa mãn $ x > y $ )

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

$ \left\{ \begin{array}{l} 6{{x}^{2}}+3xy-7x=2y-2(1) \\ 3x+{{y}^{2}}=4(2) \end{array} \right. $

$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+3xy-7x=2y-2 \\ \Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-4x+3xy-2y-3x+2=0 \\ \Leftrightarrow 2x(3x-2)+y(3x-2)-(3x-2)=0 \\ \Leftrightarrow (3x-2)(2x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{2}{3} \\ y=1-2x \end{array} \right. \end{array} $

Với $ x=\dfrac{2}{3} $ thay vào (2) ta được: $ 3.\dfrac{2}{3}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-\sqrt{2} \\ y=\sqrt{2} \end{array} \right. $

Với $ y=1-2x $ thay vào (2) ta được: $ 3x+{{(1-2x)}^{2}}=4\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{3}{4} \end{array} \right. $

$ x=1\Rightarrow y=-1;x=-\dfrac{3}{4}\Rightarrow y=\dfrac{5}{2} $

Vì $ x > 0;y > 0 $ nên hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là: $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{2}{3};\sqrt{2} \right) $

Ta có: $ {{x}_{o}}+y_{o}^{2}=\dfrac{2}{3}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}. $

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-y=1(1) \\ 3{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy=1(2) \end{array} \right. $

Từ (1) suy ra $ y=3x-1 $

Thế $ y=3x-1 $ vào (2) ta được:

$ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}-{{(3x-1)}^{2}}+x(3x-1)=1 \\ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-5x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=\dfrac{2}{3} \end{array} \right. \end{array} $

Với $ x=1\Rightarrow y=2 $

Với $ x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow y=1 $

Vì $ x\in \mathbb{Z};y\in \mathbb{Z} $ nên $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(1;2) $

Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=1+2=3 $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}-3x+xy-y=0(1) \\ 2x+{{y}^{2}}=11(2) \end{array} \right. $

$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x+xy-y=0\Leftrightarrow 3x(x-1)+y(x-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)(3x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-3x \end{array} \right. \end{array} $

Với $ x=1 $ thay vào (2) ta được: $ {{y}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-3 \\ y=3 \end{array} \right.. $

Với $ y=-3x $ thay vào (2) ta được: $ 2x+{{(-3x)}^{2}}=11\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+2x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{11}{9} \end{array} \right. $

$ x=1\Rightarrow y=-3;x=-\dfrac{11}{9}\Rightarrow y=\dfrac{11}{3} $

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: $ (x;y)=\left\{ (1;-3),(1;3),\left( -\dfrac{11}{9};\dfrac{11}{3} \right) \right\}. $

$ \left\{ \begin{array}{l} 2{{x}^{2}}-2x+xy-y=0(1) \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10(2) \end{array} \right. $

Ta có: $ (1)\Leftrightarrow 2x(x-1)+y(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(2x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-2x \end{array} \right. $

Với $ x=1 $ , thay vào (2) ta được: $ {{y}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-3 \\ y=3 \end{array} \right. $

Với $ y=-2x $ , thay vào (2) ta được: $ {{x}^{2}}+{{(-2x)}^{2}}=10\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\sqrt{2} \\ x=\sqrt{2} \end{array} \right. $

$ x=-\sqrt{2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}; $ $ x=\sqrt{2}\Rightarrow y=-2\sqrt{2} $

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (1;-3),(1;3),\left( -\sqrt{2};2\sqrt{2} \right),\left( \sqrt{2};-2\sqrt{2} \right) \right\} $

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x(3-y)=y(2-x) \\ x-2y=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x-xy=2y-xy \\ x-2y=1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x=2y \\ x=1+2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3(1+2y)=2y \\ x=1+2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-\dfrac{3}{4} \\ x=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} $

Vậy nghiệm của phương trình là: $ (x;y)=\left(- \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4} \right) $.