Tìm quỹ tích điểm qua phép vị tự

Phương pháp

Để tìm tập hợp điểm $M$ ta có thể quy về tìm tập hợp điểm $N$ và tìm một phép vị tự ${{V}_{\left( I;k \right)}}$ nào đó sao cho ${{V}_{\left( I;k \right)}}\left( N \right)=M$ suy ra quỹ tích điểm $M$ là ảnh của quỹ tích $N$ qua ${{V}_{\left( I;k \right)}}$.

Ví dụ: Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ và một điểm $I$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OI=3R$, $A$ là một điểm thay đổi trên đường tròn $\left( O;R \right)$. Phân giác trong góc $\widehat{IOA}$ cắt $IA$ tại điểm $M$. Tìm tập hợp điểm $M$ khi $A$ di động trên $\left( O;R \right)$.

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có $\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{3R}{R}=3$

$\Rightarrow IM=\dfrac{3}{4}IA$

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IA}$

$\Rightarrow {{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}\left( A \right)=M$ , mà $A$ thuộc đường tròn $\left( O;R \right)$ nên $M$ thuộc $\left( O';\dfrac{3}{4}R \right)$ ảnh của $\left( O;R \right)$ qua ${{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là $\left( O';\dfrac{3}{4}R \right)$ ảnh của $\left( O;R \right)$ qua ${{V}_{\left( I;\dfrac{3}{4} \right)}}$.