Tính chất của tích phân

Bài sau

4.7/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Tính chất của tích phân

Cho $f, g$ là hai hàm số liên trục trên $K$ và $a, b,c$ là ba số bất kì thuộc $K$ (không nhất thiết cần có $a < b < c$ ). Khi đó ta có:

$\displaystyle\int\limits_{a}^{a} {f(x)dx} = 0$ .
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} = -\displaystyle\int\limits_{b}^{a} {f(x)dx}$ .
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} + \displaystyle\int\limits_{b}^{c} {f(x)dx} = \displaystyle\int\limits_{a}^{c} {f(x)dx}$ .
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {\left[f(x) + g(x)\right]dx} = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} + \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx}$ .
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {kf(x)dx} = k \cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx}$ với $k \in \mathbb{R}$ .
Nếu $f(x) \ge g(x)$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge \displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx}$ .

Nếu $f(x) \ge 0$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge 0$ .

Nếu $f(x) \ge m\,\,\,\,(m \in \mathbb{R})$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {f(x)dx} \ge m(b - a)$ .

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho $\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=2$ và $\int\limits_{-1}^{2}{g(x)dx}=-1$ . Tính $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f(x)-3g(x) \right]dx}$

A
$I=\dfrac{11}{2}$
B
$I=\dfrac{5}{2}$
C
$I=\dfrac{17}{2}$
D
$I=\dfrac{7}{2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{2}{xdx+2\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx-3\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}\left| \begin{align} & 2 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=2.2-3.\left( -1 \right)}=\dfrac{17}{2}$

Câu 2: Nếu $\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}=7;\,\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}=3$ với $a < c < b$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A
4
B
-4
C
10
D
-5

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)dx}=4$

Câu 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A
Nếu $f\left( x \right)$ liên tục và $f\left( x \right)\ge 0$ trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}\ge 0$
B
Nếu $\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)d\text{x}}=0$ thì $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ
C
Nếu $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}\ge 0$
D
$\int\limits_{-a}^{a}{d\text{x}}=0$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khẳng định “Nếu $f\left( x \right)$ liên tục và $f\left( x \right)\ge 0$ trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}\ge 0$ ” đúng vì:
Giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\ge 0$

+ $F'\left( x \right)=0\Rightarrow F\left( x \right)$ là hàm hằng nên $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=0$
+ $F'\left( x \right)>0\Rightarrow F\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ a;b \right]\Rightarrow F\left( b \right)>F\left( a \right)\Rightarrow \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}>0$

Câu 4: Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 2;6 \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx=3};\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=7;\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx=5}$ . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.

A
$\int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }4f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=16}$
B
$\int\limits_{2}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=16}$
C
$\int\limits_{2}^{3}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3f(x)-4\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=5}$
D
$\int\limits_3^6 {\left[ {3g(x) - f(x)} \right]dx = 8}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx+}\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx=10}$

Ta có: $\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3g(x)-f(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}-\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=15-7=8}$ $\int\limits_{2}^{3}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }3f(x)-4\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=3\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx}-4\int\limits_{2}^{3}{dx}=9-4=5}$

$\int\limits_{2}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int\limits_{2}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2}f(x)-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=2\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}-1\int\limits_{2}^{6}{dx}=20-4=16}$

$\int\limits_{3}^{\ln {{e}^{6}}}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int\limits_{3}^{6}{\text{ }\!\![\!\!\text{ 4}f(x)-2g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx}=4\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}-2\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx}=28-10=18}$

Câu 5: Cho $\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}=12$ và $\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=4$ . Giá trị của $I=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A
$-16$
B
$8$
C
$-8$
D
$16$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow 4=I+12\Rightarrow I=-8$

Câu 6: Nếu $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=4$ và $\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=-2$ khi đó $\int\limits_{0}^{2}{\left( 2f\left( x \right)-g\left( x\right) \right)dx}$ có giá trị là

A
$-13$
B
$-8$
C
$12$
D
$10$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}dx=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx-\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=2.4+2=10$

Câu 7: Cho $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=-4,\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-15$ thì $\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$ có giá trị là:

A
Không xác định được
B
$11$
C
$-11$
D
$-19$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-4-15=-19$

Câu 8: Chọn khẳng định sai:

A
$\int\limits_{a}^{a}{f(x)dx=0}$
B
$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}$ $\left( c\in \left( a;b \right) \right)$
C
$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$
D
$\int\limits_{a}^{b}{kf(x)dx=k\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Sử dụng tính chất nguyên hàm trong SGK ta được $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$ nên
$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}}$ là sai.

Câu 9: Nếu $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}=1017$ thì $\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$ có giá trị là

A
$1018$
B
$2018$
C
$2017$
D
$1017$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}=1000\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)}dx=1000+1017=2017$

Câu 10: Nếu $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=4$ thì $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}$ bằng

A
$12$
B
$4$
C
$\dfrac{1}{3}$
D
$\dfrac{4}{3}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}=12$

Câu 11: Cho $\int\limits_a^b {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2,\int\limits_b^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 5,a < b < c$ , thì $\int\limits_a^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}}$ có giá trị bằng:

A
Không xác định được
B
$7$
C
$-3$
D
$3$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)d\text{x}}=-5+2=-3$

Câu 12: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A
$\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)d\text{x}}$
B
$\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 1-x \right)d\text{x}}$
C
$\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=2\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)d\text{x}}$
D
$\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)d\text{x}}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Có $\left| x-1 \right|=\left\{ \begin{align} & x-1,x\in \left[ 1;2 \right] \\ & 1-x,x\in \left[ 0;1 \right] \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)d\text{x}}$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Tính chất của tích phân

Lý thuyết về Tính chất của tích phân

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho 2∫−1f(x)dx=2\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=2 và 2∫−1g(x)dx=−1\int\limits_{-1}^{2}{g(x)dx}=-1. Tính I=2∫−1[x+2f(x)−3g(x)]dxI=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f(x)-3g(x) \right]dx}

Câu 2: Nếu c∫af(x)dx=7;c∫bf(x)=3\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}=7;\,\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}=3 với a<c<ba < c < b thì b∫af(x)dx\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} bằng

Câu 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 4: Cho f(x),g(x)f(x),g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [2;6]\left[ 2;6 \right] và thỏa mãn 3∫2f(x)dx=3;6∫3f(x)dx=7;6∫3g(x)dx=5\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx=3};\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=7;\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx=5}. Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.

Câu 5: Cho 5∫0f(x)dx=12\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}=12 và 7∫−5f(x)dx=4\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=4 . Giá trị của I=0∫−5f(x)dx+7∫5f(x)dxI=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx} bằng

Câu 6: Nếu 2∫0f(x)dx=4\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=4 và 2∫0g(x)dx=−2\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=-2 khi đó 2∫0(2f(x)−g(x))dx\int\limits_{0}^{2}{\left( 2f\left( x \right)-g\left( x\right) \right)dx} có giá trị là

Câu 7: Cho b∫af(x)dx=−4,b∫ag(x)dx=−15\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=-4,\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-15 thì b∫a[f(x)+g(x)]dx\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx} có giá trị là:

Câu 8: Chọn khẳng định sai:

Câu 9: Nếu 1∫0f(x)dx=1\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1 và 1∫0g(x)dx=1017\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}=1017thì 1∫0[1000f(x)+g(x)]dx\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx} có giá trị là

Câu 10: Nếu 2∫1f(3x)3xdx=4\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=4 thì 2∫1f(3x)xdx\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx} bằng

Câu 11: Cho b∫af(x)dx=2,c∫bf(x)dx=−5,a<b<c\int\limits_a^b {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2,\int\limits_b^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 5,a < b < c, thì c∫af(x)dx\int\limits_a^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} có giá trị bằng:

Câu 12: Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Câu 1: Cho $\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=2$ và $\int\limits_{-1}^{2}{g(x)dx}=-1$ . Tính $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f(x)-3g(x) \right]dx}$

Câu 2: Nếu $\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}=7;\,\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)}=3$ với $a < c < b$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ bằng

Câu 4: Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 2;6 \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx=3};\int\limits_{3}^{6}{f(x)dx}=7;\int\limits_{3}^{6}{g(x)dx=5}$ . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.

Câu 5: Cho $\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}=12$ và $\int\limits_{-5}^{7}{f\left( x \right)dx}=4$ . Giá trị của $I=\int\limits_{-5}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{5}^{7}{f\left( x \right)dx}$ bằng

Câu 6: Nếu $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=4$ và $\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)}dx=-2$ khi đó $\int\limits_{0}^{2}{\left( 2f\left( x \right)-g\left( x\right) \right)dx}$ có giá trị là

Câu 7: Cho $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=-4,\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}=-15$ thì $\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$ có giá trị là:

Câu 9: Nếu $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}=1017$ thì $\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1000f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$ có giá trị là

Câu 10: Nếu $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{3x}dx}=4$ thì $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{f\left( 3x \right)}{x}dx}$ bằng

Câu 11: Cho $\int\limits_a^b {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2,\int\limits_b^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 5,a < b < c$ , thì $\int\limits_a^c {f\left( x \right)d{\rm{x}}}$ có giá trị bằng: