Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lý thuyết về Phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương trình trùng phương
– Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
\[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\]
+ Đặt \[{x^2} = t;\left( {t \ge 0} \right)\]
+ Khi đó phương trình trở thành \[a{t^2} + bt + c = 0\].
+ Với mỗi giá trị tìm được của $t$ ta thay vào \[{x^2} = t\] để tìm $x$.
Ví dụ: Giải phương trình $ x ^ { 4 } +3 x ^ { 2 } -4 = 0$
- Đặt $t=x^2,t\ge0$
- \[{t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 4\left( L \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình $\dfrac { x ^ { 2 } - 3 x + 6 } { x ^ { 2 } - 9 } = \dfrac { 1 } { x - 3 }$
Điều kiện: \[x \ne \pm 3\], khi đó ta có
\[\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{1}{{x - 3}} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 6 - x - 3}}{{{x^2} - 9}} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}} = 0\\
\Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3\left( {kot/m} \right)
\end{array}\]
3. Phương trình tích
Ví dụ: Giải phương trình
\[\begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{x^2} - 4x - 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 1\\
x = 5
\end{array} \right.
\end{array}\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x-2}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)=0$ là:
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt{x-2}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)=0 $ (1)
Điều kiện: $ x\ge 2 $ .
Khi đó: $ (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & \sqrt{x-2}=0 \\ & {{x}^{2}}+3x-4=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2 \\ & x=1 \\ & x=-4 \end{array} \right. $
Vì $ x\ge 2 $ nên tập nghiệm của phương trình (1) là: $ S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2\}. $
Câu 2: Phương trình $ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-4=0 $ được đưa về dạng phương trình tích là
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-4=0\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=0 $ .
Câu 3: Cần đặt ẩn như thế nào để đưa phương trình $ {{(x+1)}^{4}}-5{{\left( x+1 \right)}^{2}}-84=0 $ về phương trình bậc hai một ẩn?
- A
- B
- C
- D
Đặt $ a={{\left( x+1 \right)}^{2}};a\ge 0 $ ta được $ {{a}^{2}}-5a-84=0 $ .
Câu 4: Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ |x-1|={{x}^{2}}+x-3 $ .
- A
- B
- C
- D
+ Trường hợp 1: $ x\ge 1 $ ta có:
$ \begin{array}{l} & x-1={{x}^{2}}+x-3 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2} \end{array} $
$ \Rightarrow \,\,x=\sqrt{2} $ là nghiệm của phương trình.
+ Trường hợp 2: $ x < 1 $ ta có:
$ \begin{array}{l} & 1-x={{x}^{2}}+x-3 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4=0 \end{array} $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1-\sqrt{5} \\ & x=-1+\sqrt{5} \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \,\,x=-1-\sqrt{5} $ là nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $ x=-1-\sqrt{5} $ .
Câu 5: Cho phương trình $ x\left( x+\text{1} \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=8 $ . Phép đặt ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn là
- A
- B
- C
- D
$ x\left( x+\text{1} \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=8\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+3x \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=8 $ .
Đặt $ t={{x}^{2}}+3x $ ta được $ t\left( t+2 \right)=8\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-8=0 $ là phương trình bậc hai một ẩn.
Câu 6: Giải phương trình: $ 3-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-2x+1}=\dfrac{1}{x-1} $ .
- A
- B
- C
- D
$ 3-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-2x+1}=\dfrac{1}{x-1}\Leftrightarrow 3-\dfrac{2x}{{{(x-1)}^{2}}}=\dfrac{1}{x-1}\,\,\,\,(1) $
Điều kiện: $ x\ne 1 $
Từ (1) suy ra
$ \begin{array}{l} & 3{{(x-1)}^{2}}-2x=x-1 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-9x+4=0 \end{array} $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{9-\sqrt{33}}{6} \\ & x=\dfrac{9+\sqrt{33}}{6} \end{array} \right. $ (thỏa mãn).
Câu 7: Phương trình $ \dfrac{|{{x}^{2}}-x-1|}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1} $ có bao nhiêu nghiệm?
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{|{{x}^{2}}-x-1|}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1} $ (1)
Điều kiện: $ x > 1 $
\[{(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
|{x^2} - x - 1| = x - 1
\end{array} \right.}\]
\[{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - x - 1 = x - 1\\
{x^2} - x - 1 = - x + 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.}\]
\[{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x = 0\\
{x^2} = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.}\]
\[{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2\\
x = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.}\]
\[{ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \sqrt 2
\end{array} \right.}\]
Câu 8: Biến đổi phương trình $ \dfrac{2\text{x}-5}{x-1}=\dfrac{3\text{x}}{x-2} $ về phương trình bậc hai một ẩn ta được
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{2x-5}{x-1}=\dfrac{3x}{x-2}\Leftrightarrow \left( 2x-5 \right)\left( x-2 \right)=3x\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-10=0 $ .
Câu 9: Cho phương trình $ \dfrac{3x-1}{x-2}=\dfrac{2x+1}{x-1} $ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Điều kiện: $ x\ne 1\,;\,x\ne 2 $
Khi đó từ phương trình đã cho suy ra
$ \begin{array}{l} & (3x-1)(x-1)=(2x+1)(x-2) \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+1=2{{x}^{2}}-3x-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+3=0 \end{array} $
Ta có: $ \Delta ={{1}^{2}}-4.3=-11 < 0 $
$ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.