Hệ thức Vi-ét và ứng dụng giải hệ phương trình bậc hai
Lý thuyết về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng giải hệ phương trình bậc hai
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$
2. Ứng dụng của định lý Vi-ét
a. Tính nhẩm nghiệm
– Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, còn nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
– Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có $a – b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm là ${x_1}\; = - 1$, còn nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}$
b. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ và ${S^2} - 4P \ge 0$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: ${x^2} - Sx + P = 0$
c. Một số mối liên hệ giữa các nghiệm và tổng $S$; tích $P$
$\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 + x_2^2 = {S^2} - 2P}\\{x_1^3 + x_2^3 = {S^3} - 3SP}\end{array}$
$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{\sqrt \Delta }}{|a|}$
d. Xét dấu các nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$
Điều kiện để 2 nghiệm trái dấu là: $P<0$
Điều kiện để 2 nghiệm cùng dấu là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P > 0\end{array} \right.$
Điều kiện để 2 nghiệm cùng dấu dương là:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$
Điều kiện để 2 nghiệm cùng dấu âm là:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Gọi $ {{x}_{1}},{{x}_{2}} $ là nghiệm của phương trình $ {{x}^{2}}-20x-17=0 $ .Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức $ C=x_{1}^{3}+x_{2}^{3} $
- A
- B
- C
- D
Theo Viets ta có: $ C=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{20}^{3}}-3\left( -17 \right).20=9020 $
Câu 2: Lập phương trình nhận $ 3-\sqrt{5} $ và $ 3+\sqrt{5} $ làm nghiệm
- A
- B
- C
- D
Theo hệ thức Viet:
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}=6 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a} = 4 \end{array} \right. $
Cho $a=1$, ta có : $b = -6, c = 4$
Vậy phương trình là: $x^2 - 6x + 4 = 0$
Câu 3: Cho phương trình :${x^2} - 7x + m = 0$, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Khi đó m bằng
- A
- B
- C
- D
Vì vai trò 2 nghiệm${x_1}$ và ${x_2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử ${x_1} - {x_2} = 11$ và theo Vi-ét ta có ${x_1} + {x_2} = 7$, ta có hệ sau:
\[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} - {x_2} = 11 \hfill \\
{x_1} + {x_2} = 7 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_1} = 9 \hfill \\
{x_2} = - 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Suy ra $m = {x_1}{x_2} = - 18$
Câu 4: Cho phương trình $ {{x}^{2}}-5x+m=0(*) $ ( $ m $ là tham số) có hai nghiệm $ {{x}_{1}},{{x}_{2}} $ . Chọn khẳng định đúng.
- A
- B
- C
- D
Theo định lí Vi – et ta có $ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m $ .
Câu 5: Gọi $ {{x}_{1}};{{x}_{2}} $ là hai nghiệm của phương trình $ {{x}^{2}}+2x-1=0 $ . Tính $ T={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}. $
- A
- B
- C
- D
Phương trình $ {{x}^{2}}+2x-1=0 $ có $ a.c=-1 < 0 $ $ \Rightarrow $ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Vi-ét ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \\
\end{array} \right. $
$ \Rightarrow T=-2+3.\left( -1 \right)=-5 $ .
Câu 6: Cho phương trình ${x^2} - mx + 50 = 0$, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Khi đó tổng các giá trị m bằng
- A
- B
- C
- D
Vì vai trò 2 nghiệm${x_1}$ và ${x_2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử ${x_1} = 2{x_2}$ và theo Vi-ét ta có ${x_1}{x_2} = 50$. Suy ra
\[\begin{gathered}
2x_2^2 = 50 \Leftrightarrow x_2^2 = {5^2} \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x_2} = - 5 \Rightarrow 25 + 5m + 50 = 0 \Rightarrow m = - 15 \hfill \\
{x_2} = 5 \Rightarrow 25 - 5m + 50 = 0 \Rightarrow m = 15 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \]
Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: $0$
Câu 7: Giá trị của tham số $ m $ để phương trình $ {{x}^{2}}+mx-2m-4=0 $ có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn là
- A
- B
- C
- D
Phương trình có hai nghiệm $ {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} $ trái dấu khi và chỉ khi $ ac < 0\Leftrightarrow -2m-4 < 0\Leftrightarrow m > -2. $
Theo định lí Vi-ét ta có $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m $ .
Phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn giá trị tuyệt đối của nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm khi $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} > 0 $ $ \Leftrightarrow -m > 0 $ $ \Leftrightarrow m < 0 $ .
Vậy giá trị cần tìm của $ m $ là $ -2 < m < 0 $ .
Câu 8: Cho phương trình $ {{x}^{2}}+6x+8=0 $ . Tổng hai nghiệm của phương trình là
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}+6x+8=0 $ có $ \Delta '={{3}^{2}}-8=1 > 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-6 $ .
Câu 9: Tích hai nghiệm của phương trình $ 4{{x}^{2}}+x-3=0 $ là
- A
- B
- C
- D
$ 4{{x}^{2}}+x-3=0 $ có $ \Delta ={{1}^{2}}+4.3=13 > 0 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\dfrac{3}{4} $ .
Câu 10: Gọi $ {{x}_{1}},{{x}_{2}} $ là nghiệm của phương trình $ -2{{x}^{2}}-6x-1=0 $ .Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức $ N=\dfrac{1}{{{x}_{1}}+3}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}+3} $
- A
- B
- C
- D
Theo hệ thức Viet ta có:
\[ \left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \]
Ta có: $ N=\dfrac{1}{{{x}_{1}}+3}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}+3}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+6}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+9}=6 $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới