Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Lần lượt thay tọa độ các điểm $ M,N,P,Q $ vào hàm số $ f(x)=5,5x $ ta được

+) Với $ M(0;1) $ , thay $ x=0;y=1 $ ta được $ 1=5,5.0\Leftrightarrow 1=0 $ (Vô lý) nên $ M\notin (C) $

+) Với $ N(2;11) $ , thay $ x=2;y=11 $ ta được $ 2.5,5=11\Leftrightarrow 11=11 $ (luôn đúng) nên $ N\in (C) $

+) Với $ P(-2;11) $ , thay $ x=-2;y=11 $ ta được $ 11=5,5.(-2)\Leftrightarrow 11=-11 $ (Vô lý) nên $ P\notin (C) $

+) Với $ P(-2;12) $ , thay $ x=-2;y=12 $ ta được $ 12=5,5.(-2)\Leftrightarrow 12=-11 $ (Vô lý) nên $ Q\notin (C) $ .

Thay $ x=-2 $ vào hàm số $ f(x)=-2{{x}^{3}} $

ta được $ f(-2)=-2.{{(-2)}^{3}}=16 $

Thay $ x=-1 $ vào hàm số $ h(x)=10-3x $

 ta được $ h(-1)=10-3(-1)=13 $

Nên $ f(-2) > h(-1) $ .

Thay $ x=2 $ vào hàm số ta được $ f(2)={{2}^{3}}+2=10 $ .

TXĐ: $ D=\mathbb{R} $

Giả sử $ {{x}_{1}} < {{x}_{2}} $ và $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D $

Ta có $ f({{x}_{1}})=1-4{{x}_{1}};f({{x}_{2}})=1-4{{x}_{2}} $

Xét hiệu $ H=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=1-4{{x}_{1}}-(1-4{{x}_{2}})=1-4{{x}_{1}}-1+4{{x}_{2}}=4({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) > 0 $ (vì $ {{x}_{1}} < {{x}_{2}} $ )

Vậy $ y=1-4x $ là hàm số nghịch biến.

Thay $ x=2;y=-3 $ vào $ y=mx-3m+2 $ ta được $ m.2-3m+2=-3\Leftrightarrow -m=-5\Leftrightarrow m=5 $ .

TXĐ: $ D=\mathbb{R} $

Giả sử $ {{x}_{1}} < {{x}_{2}} $ và $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R} $ .

Ta có $ f({{x}_{1}})=5{{x}_{1}}-16;f({{x}_{2}})=5{{x}_{2}}-16 $

Xét hiệu $ H=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=5{{x}_{1}}-16-(5{{x}_{2}}-16) $

$ =5{{x}_{1}}-16-5{{x}_{2}}+16=5({{x}_{1}}-{{x}_{2}}) < 0 $ (vì $ {{x}_{1}} < {{x}_{2}} $ )

Vậy $ y=5x-16 $ là hàm số đồng biến.

Thay $ x=3 $ vào hàm số ta được $ f(3)={{3.3}^{2}}+2.3+1=34 $

Thay $ x=2 $ vào hàm số ta được $ f(2)={{3.2}^{2}}+2.2+1=17 $

Suy ra $ f(3)-2f(2)=34-2.17=0 $ .

+) Thay $ x=1;y=4 $ vào $ 2x+y-3=0 $ ta được $ 2.1+4-3=3\ne 0 $

+) Thay $ x=1;y=4 $ vào $ y-5=0 $ ta được $ 4-5=-1\ne 0 $

+) Thay $ x=1;y=4 $ vào $ 4x-y=0 $ ta được $ 4.1-4=0 $

+) Thay $ x=1;y=4 $ vào $ 5x+3y-1=0 $ ta được $ 5.1+3.4-1=16\ne 0 $

Vậy đường thẳng $ d:4x-y=0 $ đi qua $ M(1;4) $ .

+) Thay $ x=1;y=1 $ vào $ 2x+y-3=0 $ ta được $ 2.1+1-3=0 $ nên điểm $ N $ thuộc đường thẳng $ 2x+y-3=0 $

+) Thay $ x=1;y=1 $ vào $ y-3=0 $ ta được $ 1-3=-2\ne 0 $

+) Thay $ x=1;y=1 $ vào $ 4x+2y=0 $ ta được $ 4.1+2.1=6\ne 0 $

+) Thay $ x=1;y=1 $ vào $ 5x+3y-1=0 $ ta được $ 5.1+3.1-1=7\ne 0 $

Vậy đường thẳng $ d:2x+y-3=0 $ đi qua $ N(1;1) $ .

Thay $ x=a $ vào hai hàm số đã cho ta được $ f(a)=-2{{a}^{2}};g(a)=3a+5 $ Khi đó $ \dfrac{1}{2}f(a)=g(a)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.(-2{{a}^{2}})=3a+5\Leftrightarrow -{{a}^{2}}=3a+5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+3a+5=0 $ $ \Leftrightarrow {{\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{4}=0 $

(vô lý vì $ {{\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{4}\ge \dfrac{11}{4} > 0;\forall a $ )

 Vậy không có giá trị của $ a $ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có

$ \begin{array}{l} f\left( 3+\sqrt{2} \right)=\left( 3-\sqrt{2} \right)\left( 3+\sqrt{2} \right)+1 \\ =9-2+1 \\ =8 \end{array} $

Ta có

$ \begin{array}{l} f\left( a \right)+f\left( 2+a \right)=0 \\ \Leftrightarrow 3a-1+3\left( 2+a \right)-1=0 \\ \Leftrightarrow 6a=-4\Rightarrow a=-\dfrac{2}{3} \end{array} $

Lần lượt thay tọa độ các điểm $ M,O,P,Q;A $ vào hàm số $ f(x)=3x $ ta được

+) Với $ M(1;1) $ , thay $ x=1;y=1 $ ta được $ 1=3.1\Leftrightarrow 1=3 $ (vô lý) nên $ M\notin (C) $ .

+) Với $ O(0;0) $ , thay $ x=0;y=0 $ ta được $ 0=3.0\Leftrightarrow 0=0 $ (luôn đúng) nên $ O\in (C) $ .

+) Với $ P(-1;-3) $ , thay $ x=-1;y=-3 $ ta được $ -3=3.(-1)\Leftrightarrow -3=-3 $ (luôn đúng) nên $ P\in (C) $ .

+) Với $ Q(3;9) $ , thay $ x=3;y=9 $ ta được $ 9=3.3\Leftrightarrow 9=9 $ (luôn đúng) nên $ Q\in (C) $ .

+) Với $ A(-2;6) $ , thay $ x=-2;y=6 $ ta được $ 6=(-2).3\Leftrightarrow 6=-6 $ (vô lý) nên $ A\notin (C) $ .

Vậy có ba điểm thuộc đồ thị $ (C) $ trong số các điểm đã cho.

Ta có $ f\left( 1 \right)=2\sqrt{1-1}=0;f\left( 5 \right)=2.\sqrt{5-1}=4\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 5 \right)=4 $ vì $ 5\ge 0 $ và $ {{\left( 5 \right)}^{2}}=25 $

Lần lượt thay tọa độ các điểm $ M,N,P,Q $ vào hàm số $ f(x)=3x-2 $ ta được

+) Với $ M(0;1) $ , thay $ x=0;y=1 $ ta được $ 1=3.0-2\Leftrightarrow 1=-2 $ (Vô lý) nên $ M\notin (C) $

+) Với $ N(2;3) $ , thay $ x=2;y=3 $ ta được $ 3=3.2-2\Leftrightarrow 3=4 $ (Vô lý) nên $ N\notin (C) $ .

+) Với $ P(-2;-8) $ , thay $ x=-2;y=-8 $ ta được $ -8=3.(-2)-2\Leftrightarrow -8=-8 $ (luôn đúng) nên $ P\in (C) $ .

+) Với $ Q(-2;0) $ , thay $ x=-2;y=0 $ ta được $ 0=3.(-2)-2\Leftrightarrow 0=-8 $ (Vô lý) nên $ Q\notin (C) $ .

Thay $ x=3 $ vào hàm số ta được $ f(3)={{3}^{3}}-3.3-2=16 $

$ \Rightarrow 2.f(3)=2.16=32 $ .

Thay $ x=-1 $ vào hàm số $ f(x)=6{{x}^{4}} $ ta được $ f(-1)=6.{{(-1)}^{4}}=6 $

Thay $ x=\dfrac{2}{3} $ vào hàm số $ h(x)=7-\dfrac{3x}{2} $ ta được $ h\left( \dfrac{2}{3} \right)=7-\dfrac{3.\dfrac{2}{3}}{2}=6 $

Nên $ f(-1)=h\left( \dfrac{2}{3} \right) $ .

Thay $ x=2;y=-5 $ vào $ y=\dfrac{5-m}{2}x-2m-1 $

ta được $ -5=\dfrac{5-m}{2}.2-2m-1\Leftrightarrow -3m+4=-5\Leftrightarrow -3m=-9\Leftrightarrow m=3. $

Thay $ x=4{{a}^{2}} $ vào $ f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4} $

ta được $ f(4{{a}^{2}})=\dfrac{2\sqrt{4{{a}^{2}}}-2}{\sqrt{4{{a}^{2}}}+4}=\dfrac{2\left| 2a \right|-2}{\left| 2a \right|+4}=\dfrac{4a-2}{2a+4}=\dfrac{2a-1}{a+2} $ (vì $ a\ge 0\Rightarrow \left| 2a \right|=2a $ ).

Thay $ x={{a}^{2}} $ ta có $ f\left( {{a}^{2}} \right)=\dfrac{\left| a \right|+1}{2\left| a \right|+3} $ vì $ a < 0 $ ta có:

$ f\left( {{a}^{2}} \right)=\dfrac{1-a}{3-2a} $

Thay $ x=-3;y=6 $ vào $ y=(2-3m)x-6 $ ta được $ 6=(2-3m).(-3)-6\Leftrightarrow 9m=18\Leftrightarrow m=2 $ .