Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ {d\bot {d}'} $ nên $ {a.4=-1\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow d:y=-\dfrac{1}{4}x+b} $

Gọi điểm $ {M(x;3)} $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và đường thẳng $ {y=x-1} $ . Khi đó $ {x-1=3\Leftrightarrow x=4\Rightarrow M(4;3)} $

Thay tọa độ điểm $ {M} $ vào phương trình đường thẳng $ {d:y=-\dfrac{1}{4}x+b} $ ta được $ {-\dfrac{1}{4}.4+b=3\Leftrightarrow b=4} $

Vậy phương trình đường thẳng $ {d:y=-\dfrac{1}{4}x+4} $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ {d\bot {d}'} $ nên $ {a.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1\Leftrightarrow a=2} $ (TM) $ {\Rightarrow d:y=2x+b} $

Thay tọa độ điểm $ {M} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {2.2+b=-1\Leftrightarrow b=-5} $

Vậy phương trình đường thẳng $ {d:y=2x-5} $ .

+) Ta thấy $ {d:y=(m+2)x-m} $ có $ {a=m+2} $

$ {{d}':y=-2x-2m+1} $ có $ {{a}'=-2} $

+) Điều kiện để $ {d:y=(m+2)x-m} $ là hàm số bậc nhất $ {m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2} $

+) Để $ {\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m=1 \end{array} \right.} $ (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của $ {m} $ để $ {d\equiv {d}'} $ .

Ta thấy: $ d:y=\left( m+2 \right)x-m $ có $ a=m+2 $ và $ {d}':y=-2x-2m+1 $ có $ {a}'=-2 $

Để $ d\equiv {d}'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -2 \\ a={a}' \\ b={b}' \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -2 \\ m+2=-2 \\ -m=-2m+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m=1 \end{array} \right. $

Vậy không có giá trị nào của m để $ d\equiv {d}' $

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ {d//{d}'} $ nên $ {\left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b\ne 1 \end{array} \right.\Rightarrow d:y=3x+b} $ Thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {3.(-2)+b=2\Leftrightarrow b=8} $ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng $ {d:y=3x+8} $ .

Ta thấy \[ {d:y=(3-2m)x-2} \] có \[ {a=3-2m} \] và \[ {{d}':y=4x-m+2} \] có \[ {{a}'=4} \] Để \[ {d:y=(3-2m)x-2} \] là hàm số bậc nhất thì \[ {3-2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{3}{2}} \]

Để \[ d \] cắt \[ {{d}'} \] $ {\Leftrightarrow a\ne {a}'\Leftrightarrow 3-2m\ne 4\Leftrightarrow -2m\ne 1\Leftrightarrow m\ne \dfrac{-1}{2}} $

Vậy $ {m\ne \left\{ \dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2} \right\}} $ .

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Thay tọa độ điểm $ A $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {3a+b=3} $ $ {\Rightarrow b=3-3a} $

Thay tọa độ điểm $ B $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {-1.a+b=4} $ $ {\Rightarrow b=4+a} $

Suy ra $ {2a=2-a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}3-3a=4+a\Leftrightarrow 4a=-1\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}} $ $ {\Rightarrow b=4+a=4+\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{15}{4}\Rightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{15}{4}} $

Vậy $ {d:y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{15}{4}} $ .

Thay $ {x=1;y=11} $ vào hàm số $ {y=7mx-3m+2} $ ta được $ {11=7m.1-3m+2\Leftrightarrow 4m=9\Leftrightarrow m=\dfrac{9}{4}.} $

Vậy $ {m=\dfrac{9}{4}.} $

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi

$ a\ne {a}'\Leftrightarrow 2m+1\ne 5m-3\Leftrightarrow 3m\ne 4\Leftrightarrow m\ne \dfrac{4}{3} $

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $ {y=ax+b} $

Thay tọa độ điểm $ A $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {a+b=2} $ $ {\Rightarrow b=2-a} $

Thay tọa độ điểm $ B $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {-2a+b=0\Rightarrow b=2a} $

Suy ra $ {2a=2-a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}} $ (TM) $ {\Rightarrow b=2.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}} $

Vậy $ {d:y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}} $ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $

$ x=4-3x\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1 $ .

Suy ra giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ là $ M(1;1) $

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $ M\in {{d}_{3}} $ nên $ 1=m.1-3\Leftrightarrow m=4 $ .

Vậy $ m=4 $ .

(d) // (d’) $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}
& {{m}^{2}}+2=6 \\
& m\ne 2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& m=\pm 2 \\
& m\ne 2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m=-2 $

Giả sử $ {AH:y=\text{ax}+b} $

Vì $ {AH} $ là đường cao của tam giác $ ABC $ nên $ {AH} $ vuông góc với $ {BC} $ nên: $ {a.\dfrac{-1}{3}=-1\Leftrightarrow a=3} $

Mặt khác $ {AH} $ đi qua $ {A(1;2)} $ nên ta có: $ {3.1+b=2\Leftrightarrow b=-1} $

Vậy $ {AH:y=3x-1} $ .

Để hai đường thẳng song song thì $ \left\{ \begin{matrix}
m+2=2 \\
m-4\ne 1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m=0 \\
m\ne 5 \\
\end{matrix} \right. $
Vậy $ m=0 $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ d $ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ {-2} $ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $ 1 $ nên $ d $ đi qua hai điểm $ {A(0;-2);B(1;0)} $

Thay tọa độ điểm $ {A} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được 

$ {a.0+b=-2\Rightarrow b=-2} $

Thay tọa độ điểm $ {B} $ và $ {b=-2} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {a.1-2=0\Leftrightarrow a=2} $

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $ {y=2x-2} $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ d $ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ 3 $ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $ -4 $ nên $ d $ đi qua hai điểm $ {A(0;3);B(-4;0)} $

Thay tọa độ điểm $ {A} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {a.0+b=3\Rightarrow b=3} $

Thay tọa độ điểm $ {B} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {a.(-4)+3=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}.} $

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $ {y=\dfrac{3}{4}x+3} $ .

Đường thẳng d $ y=ax+b $ vuông góc với đường thẳng $ {d}':y=-\dfrac{1}{2}x+3 $

Ta có: $ a.{a}'=-1\Leftrightarrow a.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1\Leftrightarrow a=2 $

Lại có: $ -1=2.2+b\Leftrightarrow b=-5 $

Đường thẳng d sẽ có phương trình là $ y=2x-5 $

Điểm đối xứng với điểm $ \left( x;y \right) $ qua đường thẳng $ y=x $ là điểm $ \left( y;x \right) $ Xét $ y=2x+4 $ , thay x bởi y và thay y bởi x ta được $ x=2y+4 $ hay $ y=\dfrac{1}{2}x-2 $

Ta thấy: $ d:y=x+3 $ có $ a=1 $ và $ {d}':y=-2x $ có $ {a}'=-2 $

$ \Rightarrow a\ne {a}'\left( 1\ne -2 \right) $ nên $ d $ cắt $ {d}' $

Hàm số $ {y=(2m-2)x+m-3} $ là hàm số bậc nhất khi $ {2m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1} $

Để $ {\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}(TM)} $

Vậy $ {m=\dfrac{5}{2}} $ .

Ta thấy $ d:y=\left( m+2 \right)x-m $ có $ a=m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2 $

Để $ d//{d}'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a={a}' \\ b={b}' \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+2=-2 \\ -m\ne -2m+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4(TM) $

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ {d\bot {d}'} $ nên $ {a.\dfrac{1}{3}=-1\Leftrightarrow a=-3\Rightarrow d:y=-3x+b} $

Gọi điểm $ {M(x;5)} $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và đường thẳng $ {y=2x+1} $

Khi đó $ {2x+1=5\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\Rightarrow M(2;5)} $

Thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {-3.2+b=5\Leftrightarrow b=11} $

Vậy phương trình đường thẳng $ {d:y=-3x+11} $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ d $ song song với đường thẳng $ {y=-5x-3} $ nên $ {a=-5;b\ne -3\Rightarrow d:y=-5x+b} $

Giao điểm của đường thẳng $ d $ với trục hoành có tọa độ $ {(5;0)} $

Thay $ {x=5;y=0} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {-5.5+b=0\Leftrightarrow b=25(TM)\Rightarrow y=-5x+25} $

Vậy $ {d:y=-5x+25} $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right) $

Vì $ d $ song song $ {d}' $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b\ne 1 \end{array} \right.\Rightarrow d:y=3x+b $

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được

$ 3.\left( -2 \right)+b=2\Leftrightarrow b=8 $

Vậy phương trình đường thẳng d: $ y=3x+8 $

Ta thấy $ {d:y=(1-m)x+\dfrac{m}{2}} $ có $ {a=1-m;b=\dfrac{m}{2}} $ và $ {{d}':y=-x+1} $ có $ {{a}'=-1;b=1} $

Điều kiện để $ {d:y=(1-m)x+\dfrac{m}{2}} $ là hàm số bậc nhất $ {1-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1} $

Để $ {\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-m=-1 \\ \dfrac{m}{2}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=2 \\ m=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=2(tm)} $

Vậy $ {m=2} $ .

Ta thấy $ {d:y=(3-2m)x-2} $ có $ a=3-2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{3}{2} $

 và $ {{d}':y=4x-m+2} $ có $ {a}'=4\ne 0 $

Để $ {d//{d}'} $ .

+) Ta thấy $ {d:y=(m+2)x-m} $ có $ {a=m+2} $ và $ {{d}':y=-2x-2m+1} $ có $ {{a}'=-2} $

+) Để $ {d:y=(m+2)x-m} $ là hàm số bậc nhất thì $ {m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2} $

+) Để $ d $ cắt $ {{d}'} $ $ {\Leftrightarrow a\ne {a}'} $

$ {\Leftrightarrow m+2\ne -2\Leftrightarrow m\ne -4} $

Vậy $ {m\ne \left\{ -2;-4 \right\}} $ .

Vì A là điểm thuộc đường thẳng $ \left( {{d}_{1}} \right) $ có hoành độ $ x=2 $ suy ra tung độ điểm A sẽ là $ y=2+2=4\Rightarrow A\left( 2;4 \right) $

Đường thẳng $ \left( {{d}_{1}} \right) $ có hệ số góc là $ a=1 $ , đường thẳng $ \left( {{d}_{3}} \right) $ có hệ số góc là $a'$. Khi đó do $\left(d_3\right) \bot \left(d_1\right)$ nên  $ {a}'.1=-1\Leftrightarrow {a}'=-1 $ . Đường thẳng $ \left( {{d}_{3}} \right) $ có dạng $ y=-x+b $ mà $ \left( {{d}_{3}} \right) $ đi qua A ta dễ dàng tính được $ y=-x+6 $

Thay $ {x=3;y=5} $ vào hàm số $ {y=(m-5)x-4} $ ta được $ {(m-5).3-4=5\Leftrightarrow (m-5).3=9\Leftrightarrow m-5=3\Leftrightarrow m=8} $

Vậy $ {m=8} $ .

Gọi phương trình đường thẳng $ d $ cần tìm là $ {y=ax+b(a\ne 0)} $

Vì $ d $ song song với đường thẳng $ {y=-2x+1} $ nên $ {a=-2;b\ne 1\Rightarrow y=-2x+b} $ . Giao điểm của đường thẳng $ d $ với trục hoành có tọa độ $ {(3;0)} $

Thay $ {x=3;y=0} $ vào phương trình đường thẳng $ d $ ta được $ {-2.3+b=0\Leftrightarrow b=6(TM)\Rightarrow y=-2x+6} $

Vậy $ {d:y=-2x+6} $ .