Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Ta có $ AB=9;AC=12;BC=15 $

$ \Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.9}{15}=7,2 $

$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4 $

$ \Rightarrow CH=BC-BH=15-5,4=9,6 $

Vậy $ AH=7,2;BH=5,4;CH=9,6 $ .

Tam giác vuông $ AHB $ có $ B{{H}^{2}}=BD.AB\Rightarrow BD=\dfrac{B{{H}^{2}}}{AB} $

Tam giác vuông $ AHC $ có $ H{{C}^{2}}=AC.EC\Rightarrow EC=\dfrac{H{{C}^{2}}}{AC} $

Từ đó $ \dfrac{BD}{EC}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{AB}:\dfrac{H{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{H{{C}^{2}}}.\dfrac{AC}{AB} $

mà dễ dàng ta có $ \dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{HB}{HC} $ nên $ \dfrac{BD}{EC}=\dfrac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}.\dfrac{AC}{AB}\Leftrightarrow \dfrac{BD}{EC}=\dfrac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}} $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Leftrightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{144}{20}=7,2\Rightarrow CH=BC-BH=20-7,2=12,8 $ .

Vậy $ x=7,2;y=12,8 $ .

Vì $ DM\bot DE,EN\bot DE\Rightarrow DM\parallel EN;\widehat{D}=\widehat{E}=90{}^\circ $ nên $ DENM $ là hình thang vuông

Ta có $ DM=\dfrac{BH}{2}=4,5;EN=\dfrac{CH}{2}=8;DE=12 $

Nên $ {{S}_{DENM}}=\dfrac{(DM+DN).DE}{2}=\dfrac{(4,5+8).12}{2}=75\,c{{m}^{2}} $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ \dfrac{1}{M{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{P}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{2}}=128\Leftrightarrow x=8\sqrt{2} $ .

Vậy $ x=8\sqrt{2} $ .

Theo giả thiết: $ AB:AC=5:12 $ .

Suy ra $ \dfrac{AB}{5}=\dfrac{AC}{12}=\dfrac{AB+AC}{5+12}=\dfrac{34}{17}=2 $ . Do đó $ AB=5.2=10\,(cm);AC=2.12=24\,(cm) $ .

Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{10}^{2}}+{{24}^{2}}=676 $ , suy ra $ BC=26\,cm $ .

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

Ta có: Theo định lý Pytago trong tam giác ABC ta có
$ \begin{array}{l}
& B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \\
& ={{3}^{2}}+{{4}^{2}} \\
& =25 \\
& BC=\sqrt{25}=5cm \\
\end{array} $ .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC đường cao AH ta có:
$ \begin{array}{l}
& A{{B}^{2}}=BC.BH \\
& \Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC} \\
& =\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8 \\
\end{array} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{15.20}{\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}}=12 $ .

Vậy $ x=12 $ .

Xét tam giác vuông $ ABC $ có $ AH $ là đường cao nên $ A{{B}^{2}}=BH.BC;A{{C}^{2}}=CH.BC $

Nên $ \dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{HB}{HC} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ A{{H}^{2}}=BH.CH\Rightarrow A{{H}^{2}}=2.5\Rightarrow AH=\sqrt{10} $ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ AHB;AHC $ ta có

$ AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{10+4}=\sqrt{14}\,;\,\,AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{10+25}=\sqrt{35} $

Vậy $ x=\sqrt{14};y=\sqrt{35} $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Leftrightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{100}{16}=6,25\Rightarrow CH=BC-BH=16-6,25=9,75 $ .

Vậy $ x=6,25;y=9,75 $ .

Câu trước ta có $ CM.CD=CN.CE\Leftrightarrow \dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CE}{CD} $

Xét $ \Delta CMN $ và $ \Delta CED $ có $ \widehat{C} $ chung và $ \dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CE}{CD} $ nên $ \Delta CMN\sim \Delta CED $ (c – g – c)

Theo giả thiết: $ AB:AC=3:4 $

Suy ra $ \dfrac{AB}{3}=\dfrac{AC}{4}=\dfrac{AB+AC}{3+4}=3 $ . Do đó $ AB=3.3=9\,(cm);AC=3.4=12\,(cm) $ .

Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225 $ , suy ra $ BC=15\,cm $ .

Theo pitago, tam giác vuông $ AHB $ $ \Rightarrow BH=6cm $
Theo hệ thức lượng trongtam giác có: $ A{{H}^{2}}=BH.HC\Rightarrow HC=\dfrac{32}{3}\Rightarrow BC=\dfrac{50}{3}cm $ .

Áp dụng hệ thức $ {{b}^{2}}=b'.a $ ta có $ {{9}^{2}}=x.15 $ suy ra $ x=5,4 $ và $ y=15-5,4=9,6 $ .

Tam giác $ CHD $ vuông tại $ H $ , ta có $ C{{H}^{2}}=CM.CD $

Tam giác $ CHE $ vuông tại $ H $ , ta có $ C{{H}^{2}}=CN.CE $

Nên $ CM.CD=CN.CE $

Tứ giác $ AEHD $ là hình chữ nhật vì $ \widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=90{}^\circ $ nên $ DE=AH $

Xét $ \Delta ABC $ vuông tại $ A $ có $ A{{H}^{2}}=HB.HC=16.9=144\Rightarrow AH=12 $

Nên $ DE=12\,cm $ .

Theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=100\Leftrightarrow BC=10 $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có $ A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{6}^{2}}}{10}=3,6 $ hay $ x=3,6\Rightarrow CH=BC-BH=10-3,6=6,4 $ hay $ y=6,4 $ .

Vậy $ x=3,6;y=6,4 $ .

Theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=74\Leftrightarrow BC=\sqrt{74} $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có $ AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5.7}{\sqrt{74}}=\dfrac{35\sqrt{74}}{74} $ .

Vậy $ x=\dfrac{35\sqrt{74}}{74};y=\sqrt{74} $ .

Vì $ DM\bot DE,EN\bot DE\Rightarrow DM\parallel EN;\widehat{D}=\widehat{E}=90{}^\circ $ nên $ DENM $ là hình thang vuông

Ta có $ DM=\dfrac{BH}{2}=2;EN=\dfrac{CH}{2}=4,5;DE=6 $

Nên $ {{S}_{DENM}}=\dfrac{(DM+DN).DE}{2}=19,5\,c{{m}^{2}} $ .

Tứ giác $ AEHD $ là hình chữ nhật vì $ \widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=90{}^\circ $ nên $ DE=AH $

Xét $ \Delta ABC $ vuông tại $ A $ có $ A{{H}^{2}}=HB.HC=9.16=144\Rightarrow AH=12 $

Nên $ DE=12cm $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ \dfrac{1}{M{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{P}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{2}}=128\Leftrightarrow x=8\sqrt{2} $ .

Vậy $ x=8\sqrt{2} $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ ABC $ ta có

$ \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}} $

$ \Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{15.20}{\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}}=12 $ .

Vậy $ x=12$ .

Dễ dàng ta có $ AB=10;AC=24;BC=26 $ .

$ \Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{10.24}{26}\approx 9,23 $ ;

$ A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{10}^{2}}}{13}=\dfrac{100}{13}\approx 7,69 $ .

$ \Rightarrow CH=BC-BH=26-7,69=18,31 $ .

Vậy $ AH\approx 9,23;BH\approx 7,69;CH\approx 18,31 $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ A{{H}^{2}}=BH.CH\Rightarrow A{{H}^{2}}=1.4\Rightarrow AH=2 $ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ AHB;AHC $ ta có

$ AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}};AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{5} $ .

Vậy $ x=\sqrt{5};y=2\sqrt{5} $ .

Theo định lý Pytago ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=169\Leftrightarrow BC=13 $ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$ AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5.12}{13}=\dfrac{60}{13} $ .

Vậy $ x=\dfrac{60}{13};y=13 $ .

Theo định lý Pytago ta có \[ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=25\Leftrightarrow BC=5 \] .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

\[ A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8 \] hay \[ x=1,8 \] .

\[ \Rightarrow CH=BC-BH=5-1,8=3,2 \] hay \[ y=3,2 \] .

Vậy \[ x=1,8;y=3,2 \] .