Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+my=-1 \\ mx+y=1 \end{array} \right. $ vô nghiệm thì $ \dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\ne \dfrac{-1}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\pm 1 \\ m\ne -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $ .

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right. $

+, Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'} $

+, Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'} $

+, Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'} $ .

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Thay $ \left( 2;1 \right) $ vào các phương án ta được:

$ \left\{ \begin{array}{l} -2.2+3.1=-1 \\ -2+3.1=1 \end{array} \right. $ (đúng) mà $ \dfrac{-2}{-1}\ne \dfrac{3}{3} $ nên hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -2x+3y=-1 \\ -x+3y=1 \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất là $ \left( 2;1 \right) $ hay tương đương với hệ trên.

$ \left\{ \begin{array}{l} 2-2.1=0 \\ 2+1=-3 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=0 \\ x+y=-3 \end{array} \right. $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} -2+3.1=3 \\ 3.2-4.1=2 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 2;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} -x+3y=3 \\ 3x-4y=2 \end{array} \right. $ .

$ \left\{ \begin{array}{l} 2.2+2.1=6 \\ 2+1=3 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( 2;1 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y=6 \\ x+y=3 \end{array} \right. $ . Nhưng chú ý rằng $ \dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{3} $ nên hệ này có vô số nghiệm, nên không tương đương với hệ trên.

Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi $ \dfrac{m}{1}\ne \dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m\ne 1 $ .

Để hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} mx-y=1 \\ x-my={{m}^{2}} \end{array} \right. $ có vô số nghiệm thì $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}}=1 $ .

Vậy có 1 giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm.

Ta có $ \dfrac{3}{-6}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{4}{-8} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} 3\text{x}-2y=4 \\ -6\text{x}+4y=-8 \end{array} \right. $ có vô số nghiệm.

Ta có $ \dfrac{0}{3}\ne \dfrac{4}{-2} $ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-y=3 \\ 2x+y=4 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2-(-3)=1\ne 3 \\ 2.(-2)-3=-7\ne 4 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=8 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7\ne 8 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-2y=0 \\ x-3y=5 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4.(-2)-2.(-3)=-2\ne 0 \\ -2-3.(-3)=7\ne 5 \end{array} \right. $ nên loại.

Thay $ x=-2;y=-3 $ vào hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-2)-(-3)=-1 \\ -2-3.(-3)=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=-1 \\ 7=7 \end{array} \right. $ Đúng.

Vậy $ \left( -2;-3 \right) $ là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y=-1 \\ x-3y=7 \end{array} \right. $

Ta có $ \dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{-2}{-6}\ne \dfrac{3}{-7} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2}x-2y=3 \\ 3\sqrt{2}x-6y=-7 \end{array} \right. $ vô nghiệm.

Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} mx-2y=1 \\ 2x-my=2{{m}^{2}} \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{m}{2}\ne \dfrac{-2}{-m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ne 4\Leftrightarrow m\ne \pm 2 $ .

Vì hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right)x+y=4 \\
& m\text{x-}y=1 \\
\end{array} \right. $ có nghiệm $ \left( x\,;y \right)=\left( 1\,;1 \right) $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& \left( {{m}^{2}}-1 \right).1+1=4 \\
& m.1\text{-1}=1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& {{m}^{2}}=4 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& m=\pm 2 \\
& m=2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m=2 $ .

Thay lần lượt từng cặp nghiệm vào hệ ta có cặp (x;y) = (-4; 5) là nghiệm của hệ $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x-2y=-12 \\ x+\dfrac{1}{3}y=-\dfrac{7}{3} \end{array} \right. $ .

Ta có $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} $ nên hệ có vô số nghiệm.

Thay các đáp án để kiểm tra.

Với cặp $ \left( 21;-15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.21+3.15=3 \\ -4.21+5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 21;-15 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( -21;15 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.(-21)+3.15=3 \\ -4.(-21)-5.15=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3=3 \\ 9=9 \end{array} \right. $ (đúng) nên $ \left( -21;15 \right) $ là nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( 1;1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.1=3 \\ -4.1-5.1=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5=3 \\ -9=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

Với cặp $ \left( 1;-1 \right) $ ta được $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2.1+3.(-1)=3 \\ -4.1-5.(-1)=9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1=3 \\ 1=9 \end{array} \right. $ (vô lý) nên $ \left( 1;-1 \right) $ không phải nghiệm của hệ.

$ \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}\ne \dfrac{3}{1} $ nên hệ vô nghiệm.

Hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=-1 \\ mx+y=2m \end{array} \right. $ vô nghiệm khi và chỉ khi $ \dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{1}\ne \dfrac{2m}{-1} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=1 \\ m\ne -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $

Thay cặp số (-4; 5) vào hệ phương trình ta có cặp số thỏa mãn $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=-3 \\ -3x-2y=2 \end{array} \right. $ nên (-4; 5) là nghiệm của hệ.