Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trong đường tròn

Xét đường tròn tâm $ (O) $ .

Kẻ $ OE\bot AB $ tại $ E $ suy ra $ E $ là trung điểm của $ AB $ , kẻ $ OF\bot CD $ tại $ F $ suy ra $ F $ là trung điểm của $ CD $ .

Xét tứ giác $ OEMF $ có $ \widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}=90{}^\circ $ nên $ OEIF $ là hình chữ nhật, suy ra $ FM=OE $ .

Ta có $ CD=12cm\Rightarrow FC=6cm $ mà $ MC=2cm\Rightarrow FM=FC-MC=4cm $ nên $ OE=4cm $

Vậy khoảng cách từ tâm $ O $ đến dây $ AB $ là $ 4\,cm $ .

Xét đường tròn $ (O;OB) $

Kẻ $ OE\bot CD;OF\bot AB $ tại $ E,F $ mà $ CD < AB\Rightarrow OE > OF $ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

Xét đường tròn $ (O;OK) $ có $ OE\bot KN;OF\bot KM $ tại $ E,F $ mà $ OE=OF\Rightarrow KN=KM $ (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

TH1: $ AB $ và $ CD $ khác phía với $ O $

Hạ $ OH\bot AB;OK\bot CD $

Ta có $ OH=15\Rightarrow OK=7\Rightarrow CD=2KD=2\sqrt{{{25}^{2}}-{{7}^{2}}}=48 $

TH2: $ AB $ và $ CD $ cùng phía với $ O $ (loại vì khi đó $ OK=37\text{ } > 22 $

Trong tam giác $ ACD $ , ta có :

B là trung điểm của $ AC\left( gt \right);O $ là trung điểm của $ CD $

Nên $ OB $ là đường trung bình của $ \Delta ACD $ .

Suy ra : $ OB=\dfrac{1}{2}AD $ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy $ AD=2.OB=2.3=6\left( cm \right) $

Gọi C là tiếp điểm của $ EF $ với đường tròn (O), H là giao điểm của OC và AB.

Ta có $ OC\bot EF $ và $ AB//EF $ nên $ OC\bot AB $

Ta tính được HB = 12 cm nên OH = 9 cm.

Ta có tam giác $ \Delta OAB\sim \Delta OEF\Rightarrow \dfrac{OH}{OC}=\dfrac{AB}{EF}\Rightarrow EF=40cm $

Kẻ $ BE\bot CD $

Suy ra tứ giác $ ABED $ là hình chữ nhật

Ta có: $ AD=BE $ ; $ AB=DE=4\left( cm \right) $

Suy ra: $ CE=CD-DE=9-4=5\left( cm \right) $

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông $ BCE $ ta có :

$ B{{C}^{2}}=B{{E}^{2}}+C{{E}^{2}} $ $ \Rightarrow B{{E}^{2}}=B{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144 $

$ \Rightarrow BE=12\left( cm \right) $

Vậy: $ AD=12\left( cm \right) $

Kẻ đường thẳng qua $ O $ vuông góc với $ AC $ tại $ E $ và cắt $ BD $ tại $ F $ thì $ EF\bot BD $ tại $ F $ vì $ AC\text{//}BD $ .

Xét hai tam giác vuông $ OEA $ và tam giác $ OFB $ có $ \widehat{AEO}=\widehat{OFC}=90{}^\circ ;\widehat{AOE}=\widehat{FOC} $ (đối đỉnh)

Nên $ \Delta AEO\sim \Delta CFO $ (g - g) $ \Rightarrow \dfrac{OE}{OF}=\dfrac{OA}{OC} $ mà $ OA=OB=2.OC\Rightarrow \dfrac{OE}{OF}=\dfrac{OA}{OC}=2\Rightarrow OE=2OF $

Hay $ OE > OF $ suy ra $ AD < MN $ (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).

Kẻ $ OH\bot AB,H\in AB $

Dễ thấy $ \Delta OAB $ cân tại O.

Do đó, OH vừa là đường cao, trung tuyến của tam giác

$ \Rightarrow H $ là trung điểm của $ AB\Rightarrow HA=HB=3\ cm. $

$ O{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}={{4}^{2}}. $ Do đó $ OH=4\text{ }cm $

Gọi $ H,K $ lần lượt là trung điểm của $ CD $ và $ AB $

Suy ra $ OH\bot CD;OK\bot AB $ và $ OH=9cm;\text{ }OK=10cm. $

Tam giác OHC vuông tại H nên $ O{{C}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225\Rightarrow O{{A}^{2}}=O{{C}^{2}}=225 $ .

Tam giác OAK vuông tại K nên $ A{{K}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{K}^{2}}=225-{{10}^{2}}=125\Rightarrow AK=5\sqrt{5}(cm). $

Vậy $ AB=2AK=10\sqrt{5}(cm) $ .

Ta có O luôn cách AB 1 khoảng cách bằng bán kính tức bằng 2cm

Khi đó tập hợp các tâm O thỏa mãn là 2 đường thẳng song song với AB và cách AB 1 khoảng bằng 2cm

$ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ AD=BC $ .

$ DC $ là đường chéo hcn nên $ DC=AB\Rightarrow DC $ là đường kính $ \left( O \right) $

Kẻ đường thẳng qua $ O $ vuông góc với $ CD $ tại $ E $ và cắt $ AB $ tại $ F $ thì $ EF\bot AB $ vì $ AB\text{//}CD $ .

Khi đó $ E $ là trung điểm của $ CD $ và $ F $ là trung điểm của $ AB $ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó)

Nên $ ED=6cm;FB=8cm;OD=OB=10cm $

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ OED $ ta được $ OE=\sqrt{O{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=8cm $ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ OFB $ ta được $ OF=\sqrt{O{{B}^{2}}-F{{B}^{2}}}=6cm $ .

Vậy khoảng cách giữa hai dây là $ EF=OE+OF=14cm $ .

Vẽ đường kính có $ AE=8cm $ .

Điểm $ B $ thuộc đường tròn đường kính $ AE $ $ \Rightarrow \widehat{ABE}={{90}^{0}} $ .

Xét $ \Delta ADC $ và $ \Delta ABE $ có

$ \widehat{DAC} $ (chung),

$ \widehat{ADC}=\widehat{ABE}\left( ={{90}^{0}} \right) $ ,

do đó $ \Delta ADC\sim \Delta ABE $ $ \Rightarrow \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AD=\dfrac{AC.AB}{AE} $ . Mà $ AC=2cm,AB=5cm,AE=8cm $ , nên $ AD=\dfrac{2.5}{8}=\dfrac{5}{4}\left( cm \right) $ .

Kẻ $ OE $ vuông góc $ CD $ nên $ E $ là trung điểm của đoạn $ CD\Rightarrow CE=ED=\dfrac{CD}{2}=9\,\,cm $ .

Xét $ \Delta COE $ vuông tại E ta có $ O{{C}^{2}}=C{{E}^{2}}+E{{O}^{2}} $ ( theo định lí pytago) $ \Rightarrow OE=\sqrt{O{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}}=\sqrt{{{11}^{2}}-{{9}^{2}}}=2\sqrt{10} $ .

Tương tự áp dụng định lí pytago trong $ \Delta MOE $ vuông tại E ta được $ ME=\sqrt{M{{O}^{2}}-E{{O}^{2}}}=\sqrt{{{7}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{10} \right)}^{2}}}=3 $ .

Mà $ EC=MC+ME\Rightarrow MC=ECME=9-3=6\,\,\Rightarrow MD=CD-MC=18-6=12\,\,cm $ .

Xét tam giác vuông $ AOM $ có $ OA=AM=3cm\Rightarrow OM=3\sqrt{2}cm $

Vậy điểm M chuyển động trên đường tròn $ \left( O;3\sqrt{2}cm \right) $

Kẻ $ AH\bot xy $ , ta có: $ AH=12cm $

Bán kính đường tròn tâm $ A $ là $ R=13cm $ . Mà $ AH=d=12cm $ $ \Rightarrow d < R $

Vậy $ \left( A;13cm \right) $ cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AHC ta có:

$ A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}} $ $ \Rightarrow H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}=25\Rightarrow HC=5\left( cm \right) $

Ta có: $ BC=2.HC=2.5=10\left( cm \right) $

Vẽ $ OH\bot AB\left( H\in AB \right) $ , $ OK\bot CD\left( K\in CD \right) $ .

Ta có $ AB=CD $ (gt), nên $ OH=OK $ (định lý liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm) và $ H,K $

lần lượt là trung điểm của $ AB,CD $ (định lý đường kính vuông góc dây cung) $ \Rightarrow AH=CK $ .

Xét $ \Delta OHM $ $ \left( \widehat{OHM}={{90}^{0}} \right) $ có $ OM $ (cạnh chung) và $ OH=OK $ , do đó $ \Delta OHM=\Delta OKM $ (cạnh huyền, cạnh góc vuông) $ \Rightarrow MH=MK $ . Ta có $ MH-AH=MK-CK\Rightarrow MA=MC $ .

Xét đường tròn tâm $ (O) $ .

Kẻ $ OE\bot AB $ tại $ E $ suy ra $ E $ là trung điểm của $ AB $ , kẻ $ OF\bot CD $ tại $ F $ suy ra $ F $ là trung điểm của $ CD $ .

Xét tứ giác $ OEMF $ có $ \widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}=90{}^\circ $ nên $ OEIF $ là hình chữ nhật, suy ra $ FM=OE $ .

Ta có $ CD=8\,cm\Rightarrow FC=4\,cm $ mà $ MC=1\,cm\Rightarrow FM=FC-MC=4-1=3\,cm $ nên $ OE=FM=3\,cm $

Vậy khoảng cách từ tâm $ O $ đến dây $ AB $ là $ 3\,cm $ .

Từ $ O $ kẻ $ OE\bot AB=E,OF\bot CD=F $ .

mà $ AB\text{//}CD $ nên $ O,F,E $ thẳng hàng.

+) Xét tam giác OAE vuông tại E, theo định lý Pytago ta có:

$ O{{E}^{2}}=O{{A}^{2}}-A{{E}^{2}}={{50}^{2}}-{{40}^{2}}={{30}^{2}}\Rightarrow OE=30 $

+)Xét tam giác $ OCF $ vuông tại F, theo định lý Pytago ta có $ O{{F}^{2}}=O{{C}^{2}}-C{{F}^{2}}={{50}^{2}}-{{48}^{2}}={{14}^{2}}\Rightarrow OF=14(cm). $

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $ là $ EF=OE-OF=30-14=16\left( cm \right) $

Xét đường tròn $ (O;OB) $

Kẻ $ OE\bot CD;OF\bot AB $ tại $ E,F $ mà $ CD < AB\Rightarrow OE > OF $ (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)

Xét đường tròn $ (O;OK) $ có $ OE\bot KN;OF\bot KM $ tại $ E,F $ mà $ OE > OF\Rightarrow KN < KM $ (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)