Tính chất đường phân giác trong tam giác

Vì $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$ nên ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4} \\ \Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{4} \\ \Rightarrow \dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{3}{4+3}=\dfrac{3}{7} \\ \Leftrightarrow \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow \dfrac{x}{49}=\dfrac{3}{7} \\ \Rightarrow x=21cm \end{array}$

$\Rightarrow y=49-x=28cm$

Vậy $x=21cm;y=28cm$ .

Ta có AD là đường phân giác nên có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{5}{8}$

Vì $MD$ và $ME$ lần lượt là phân giác của $\widehat{AMB};\widehat{AMC}$ nên $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB},\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{MA}{MC}$

mà $MB=MC$ nên $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}\Rightarrow DE\text{//}BC$ ( định lí Ta-lét đảo).

Vì $DE\text{//}BC$ nên $\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IE}{MC}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

mà $BM=MC$ nên $DI=IE$ .

Do AD là phân giác trong tam giác ABC

$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}}\\ {} \end{array}$

xét tam giác ABC có DE song song với AB nên 

$\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{DC}}{{CB}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{3}{5}}\\ { \Rightarrow DE = 8.\frac{3}{5} = \frac{{24}}{5}cm} \end{array}$

Trong $\Delta ABC$ , ta có: $AD$ là đường phân giác của $\angle \left( BAC \right)$ $\Rightarrow \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\left( 1 \right)$

$BE$ là đường phân giác của $\angle \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\left( 2 \right)$

$CF$ là đường phân giác của $\angle \left( ACB \right)\Rightarrow \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{CA}{CB}\left( 3 \right)$

Nhân từng vế $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có: $\dfrac{\text{DB}}{\text{DC}}\cdot \dfrac{\text{EC}}{\text{EA}}\cdot \dfrac{\text{FA}}{\text{FB}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}\cdot \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\cdot \dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}=1$ .

Theo tính chất đường phân giác, ta có

$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{1}{2},\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{3}{4}$

Nên $\dfrac{AB}{2}=\dfrac{BC}{4}=\dfrac{AC}{3}$

Do đó $\dfrac{AB}{2}=\dfrac{BC}{4}=\dfrac{AC}{3}=\dfrac{AB+BC+AC}{2+4+3}=\dfrac{18}{9}=2$ Vậy $AB=4cm,BC=8cm,AC=6cm$ .

Ta có $MD$ là đường phân giác trong tam giác $ABM\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AM}{BM}\left( 1 \right)$

Ta có $ME$ là đường phân giác trong tam giác $ACM\Rightarrow \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AM}{MC}\left( 2 \right)$

Mà $MB=MC\Rightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AM}{MC}\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\Rightarrow DE//BC$

Khi đó $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{5-2}{5}=\dfrac{DE}{6}\Leftrightarrow DE=\dfrac{18}{5}cm$

Vì $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên: $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}$

Suy ra: $\dfrac{AD}{DC+AD}=\dfrac{AB}{BC+AB}$

(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{BC+AB}$

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên

$\begin{array}{l} AC=AB=15cm\Rightarrow \dfrac{AD}{15}=\dfrac{15}{15+10} \\ \Rightarrow AD=\dfrac{15.15}{25}=9\,cm. \end{array}$

Cách 1: Ta có $MD$ là đường phân giác trong tam giác $ABM\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AM}{BM}\left( 1 \right)$

Ta có $ME$ là đường phân giác trong tam giác $ACM\Rightarrow \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AM}{MC}\left( 2 \right)$

Mà $MB=MC\Rightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AM}{MC}\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\Rightarrow DE//BC$

Khi đó $AM\bot DE\Rightarrow AM\bot DB\Rightarrow AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC cân tại A.

Cách 2: vẽ từng trường hợp tam giác ABC vuông tại A, cân tại A, cân tại B, cân tại C thấy trường hợp tam giác ABC cân tại A thỏa mãn.

Ta có AD là đường phân giác nên có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{2}{DC}=\dfrac{4}{6}\Rightarrow DC=3cm$

Do AD là đường phân giác nên có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{4}{DC}=\dfrac{5}{8,5}=\dfrac{1}{1,7}\Rightarrow DC=1,7.4=6,8cm$

Khi đó, chu vi tam giác $ABC$ bằng $6,8+4+5+8,5=24,3cm$

Do AD là đường phân giác nên có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow BD=\dfrac{3}{4}DC$

Ta có $BC=BD+DC=10$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4}DC+DC=10\Leftrightarrow \dfrac{7}{4}DC=10\Rightarrow DC=\dfrac{40}{7}cm$

Cách khác: Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{AB+AC}{BD+DC}=\dfrac{6+8}{10}=\dfrac{7}{5} \\ \Rightarrow DC=\dfrac{5}{7}AC=\dfrac{5}{7}.8=\dfrac{40}{7}cm \end{array}$

Do AD là đường phân giác nên có $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{m}{n}$

Dựn AH vuông BC tại H, ta có

$\begin{array}{l} {{S}_{ABD}}=\dfrac{1}{2}AH.BD;{{S}_{ACD}}=\dfrac{1}{2}AH.DC \\ \Rightarrow \dfrac{{{S}_{ABD}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.DC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{m}{n} \end{array}$

Do tam giác $ABC$ cân tại A nên H là trung điểm BC

Trong tam giác ABH có BH là phân giác

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{3}{5-3}=\dfrac{3}{2} \\ \Rightarrow AB=\dfrac{3}{2}BH=\dfrac{3}{2}.\dfrac{BC}{2}=6cm \end{array}$